호의 길이와 곡률

주어진 타원에 대해

$$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a\cos t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} +b\sin t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \mathbf{v}(t)&= -a\sin t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} +b\cos t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ |\mathbf{v}(t)|& = \sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2 t}\\ \mathbf{a}(t)&= -a\cos t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} -b\sin t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -a\sin t & b\cos t & 0 \\ -a\cos t & -b\sin t & 0 \end{matrix}\right] = ab\,\hat{\mathbf{k}}\\ \kappa (t)&=\frac{|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)|}{|\mathbf{v}(t)|^3} =\frac{ab}{{[a^2\sin^2t+b^2\cos^2 t]}^{3/2}} \end{aligned}$$

따라서 곡률의 최댓값(최솟값)은 분모가 최소(최대)일 때 얻어지며, 이는 $\sin t =0$ ($\cos t=0$)일 때이다. 그러므로 $\kappa _{\rm max}=\frac{a}{b^2}$ 이고 $\kappa _{\rm min}=\frac{b}{a^2}$ 이다.