극값과 안장점 연습문제 — OpenStax 3권 · 4.7절 · 48번

OpenStax 3권 · 4.7절 · 48번대학 수준우리말 번역

높이와 원의 둘레의 합이 $120$ cm 인 원기둥 모양 음료수 캔의 최대 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the maximum volume of a cylindrical soda can such that the sum of its height and circumference is $120$ cm.

정답·풀이 보기

$V=\frac{64,000}{\pi }\approx 20,372$ cm³

원본 교재 풀이(영어)

$V=\frac{64,000}{\pi }\approx 20,372$ cm³

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.9절 · 1번우리말 번역

(a) 함수 $f(x,y)$ 의 등위곡선 몇 개가 아래 $xy$ –평면에 그려져 있다.

아래 네 가지 진술 각각에 대해, 그 상황이 적용되는 점을 그림에서 모두 찾아 그 글자에 동그라미를 치세요. 예를 들어 진술이 "이 점들은 $y$ –축 위에 있다"라면 $P$ 와 $U$ 에 동그라미를 치고 나머지 글자에는 치지 않는다. 점 $T$ 에서 극댓값이 생긴다고 가정해도 됩니다.

$\begin{aligned} \text{(i) }& { \boldsymbol{\nabla} } f\text{ 가 영벡터이다} & &\text{P Q R S T U} \\ \text{(ii) }& \text{ $f$ 가 안장점을 갖는다} & &\text{P Q R S T U} \\ \text{(iii) }& \text{ 편도함수 $f_y$ 가 양수이다} & &\text{P Q R S T U} \\ \text{(iv) }& \text{ $f$ 의 방향 $\left< 0,-1\right>$ 으로의 방향도함수가} & &\text{P Q R S T U} \\[-0.07in] & \text{ 음수이다} & & \end{aligned}$ (b) 아래 그림은 $xz$ –축 위에 그린 그래프 $z=F(x,y)$ 의 세 개의 " $y$ 단면"을 보여 준다. (곧, 곡면 $z=F(x,y)$ 와 세 평면 ( $y=1.9$ , $y=2$ , $y=2.1$ )의 교선이다.) 각 진술에 대해 알맞은 말에 동그라미를 치세요.

$\begin{aligned} \text{(i) }& \text{ 1계 편도함수 $F_x(1,2)$ 는} & &\text{양수/음수/0 (하나에 동그라미)} \\ \text{(ii) }& \text{ $F$ 는 $(2,2)$ 에서 임계점을 갖는다 } & &\text{참/거짓 (하나에 동그라미)} \\ \text{(iii) }& \text{ 2계 편도함수 $F_{xy}(1,2)$ 는} & &\text{양수/음수/0 (하나에 동그라미)} \end{aligned}$

다 풀었으면 정답 확인

a) (ⅰ) 임계점에서 ${ \boldsymbol{\nabla} } f$ 는 영벡터이다. 점 $T$ 는 극댓값을 갖는 점이고 점 $U$ 는 안장점이다. 나머지 점 $P$ , $R$ , $S$ 는 임계점이 아니다.

(a) (ⅱ) 안장점은 $U$ 뿐이다.

(a) (ⅲ) $(x,y)$ 에서 수직 위쪽으로 움직일 때 $f$ 가 증가하면 $f_y(x,y)>0$ 이다. 그림을 보면 다음과 같다.

$\begin{aligned} f_y(P) <0\qquad f_y(Q) <0\qquad f_y(R) =0\qquad f_y(S) >0\qquad f_y(T) =0\qquad f_y(U) =0 \end{aligned}$

따라서 조건에 맞는 점은 $S$ 뿐이다.

(a) (ⅳ) $f$ 의 방향 $\left< 0,-1\right>$ 으로의 방향도함수는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f\cdot \left< 0,-1\right> =-f_y$ 이다. 이 값이 음수일 필요충분조건은 $f_y>0$ 이다. 따라서 이번에도 조건에 맞는 점은 $S$ 뿐이다.

(b) (ⅰ) 그림에서 $y=2.0$ 의 그래프는 $x=1$ 에서 기울기가 양수이므로, 함수 $z=F(x,2)$ 는 $x=1$ 에서 증가한다. 따라서 $F_x(1,2)>0$ 이다.

(b) (ⅱ) 그림에서 $y=2.0$ 의 그래프는 $x=2$ 에서 기울기가 양수이므로, 함수 $z=F(x,2)$ 는 $x=2$ 에서도 (천천히이지만) 증가한다. 따라서 $F_x(2,2)>0$ 이다. 그러므로 $F$ 는 $(2,2)$ 에서 임계점을 갖지 않는다.

(b) (ⅲ) 그림으로 보아 $F_x(1,1.9) > F_x(1,2.0) > F_x(1,2.1)$ 인 것으로 보인다. 곧, $x=1$ 에서 $y=1.9$ 그래프의 기울기가 $x=1$ 에서 $y=2.0$ 그래프의 기울기보다 크고, 이 기울기는 다시 $x=1$ 에서 $y=2.1$ 그래프의 기울기보다 큰 것으로 보인다. 따라서 $y$ 가 $y=2$ 를 지나며 증가할 때 $F_x(1,y)$ 는 감소하는 것으로 보이고, 그러므로 $F_{xy}(1,2)<0$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극값과 안장점활용자동 분류