극값과 안장점

(a) 다음을 얻는다.

$$\begin{aligned} f(x,y)&=xy(x+2y-6)\quad & f_x(x,y)&=2xy+2y^2-6y\quad & f_{xx}(x,y)&=2y \\ & & f_y(x,y)&=x^2+4xy-6x & f_{yy}(x,y)&=4x\\ & & & &f_{xy}(x,y)&=2x+4y-6 \end{aligned}$$

임계점에서

$$\begin{aligned} f_x(x,y)=f_y(x,y)=0 &\iff 2y(x+y-3)=0\text{ 그리고 }x(x+4y-6)=0 \\ &\iff \{y=0\text{ 또는 }x+y=3\}\text{ 그리고 }\{x=0\text{ 또는 }x+4y=6\}\\ &\iff \{x=y=0\}\text{ 또는 }\{y=0,\ x+4y=6\}\\ &\text{ 또는 }\{x+y=3,\ x=0\} \text{ 또는 }\{x+y=3,\ x+4y=6\}\\ &\iff (x,y)=(0,0)\text{ 또는 }(6,0)\text{ 또는 }(0,3)\text{ 또는 }(2,1) \end{aligned}$$

네 임계점 각각의 분류는 다음 표와 같다.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \genfrac{}{}{0pt}{}{\text{임계}}{\text{점}} & f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 & f_{xx} & \text{종류} \\ \hline (0,0) & 0\times 0-(-6)^2<0 & & \text{안장점} \\ \hline (6,0) & 0\times 24-6^2<0 & & \text{안장점} \\ \hline (0,3) & 6\times 0-6^2<0 & & \text{안장점} \\ \hline (2,1) & 2\times 8-2^2>0 & \text{2} & \text{극소점} \\ \hline \end{array}$$

(b) $xy=4$ 와 $x+2y=6$ 은 $x=6-2y$ 이고

$$\begin{aligned} (6-2y)y=4 &\iff 2y^2-6y+4=0 \iff 2(y-1)(y-2)=0 \\ &\iff (x,y) = (4,1)\text{ 또는 }(2,2) \end{aligned}$$

일 때 만난다.

아래 그림에서 색칠한 영역이 $D$ 이다.

임계점은 어느 것도 $D$ 에 속하지 않는다. 따라서 최댓값과 최솟값은 $(2,2)$ 또는 $(4,1)$ 에서 나타나거나, $xy=4$, $2<x<4$ 위에서 나타난다(이 경우 $F(x)=f\big(x,\frac{4}{x}\big)=4\big(x+\frac{8}{x}-6)$ 은 $F'(x)=4-\frac{32}{x^2}=0\iff x=\pm2\sqrt{2}$ 를 만족한다). 또는 $x+2y=6$, $2<x<4$ 위에서 나타난다(이 경우 $f(x,y)$ 는 항등적으로 영이다). 그러므로 최솟값과 최댓값은 다음 중 한 점에서 나타난다.

$$\begin{array}{|c|c|}\hline (x,y) & f(x,y) \\ \hline (2,2) & 2\times 2(2+2\times2-6)=0 \\ \hline (4,1) & 4\times 1(4+2\times 1-6)=0 \\ \hline (2\sqrt{2},\sqrt{2}) & 4(2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-6)<0 \\ \hline \end{array}$$

최댓값은 $0$ 이고 최솟값은 $4(4\sqrt{2}-6) \approx -1.37$ 이다.