라그랑주 승수법 연습문제 — OpenStax 3권 · 4.8절 · 14번

OpenStax 3권 · 4.8절 · 14번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 라그랑주 승수법을 이용하여, 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=19$ 위에서 $f(x,y,z)=2x+3y+5z$ 의 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

Maximize $f(x,y,z)=2x+3y+5z$ on the sphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=19.$

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정답·풀이 보기

$19\sqrt{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$19\sqrt{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.10절 · 1번우리말 번역

(a) 함수 $f(x, y) = x^2 +y^2$ 은 곡선 $xy = 1$ 위에서 최댓값 또는 최솟값을 갖나요? 설명하세요. (b) 곡선 $xy = 1$ 위에서 $f(x, y)$ 의 최댓값과 최솟값을 모두 구하세요.

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(a) $f(x, y) = x^2 +y^2$ 은 점 $(x,y)$ 에서 원점까지의 거리의 제곱이다. 곡선 $xy=1$ 위에는 $x$ 또는 $y$ 가 얼마든지 커지는 점이 있으므로 원점으로부터의 거리도 얼마든지 커진다. 따라서 $f$ 는 이 곡선 위에서 최댓값을 갖지 않는다. 반면 $f$ 는 최솟값을 갖는데, 이는 $xy=1$ 위의 점 중 원점에 가장 가까운 점에서 얻어진다.

(b) 곡선 $xy=1$ 위에서 $y=\frac{1}{x}$ 이므로 $f=x^2+\frac{1}{x^2}$ 이다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) =2x-\frac{2}{x^3} =\frac{2}{x^3}(x^4-1) \end{aligned}$

이고 곡선 위의 어떤 점도 $x=0$ 이 아니므로, 최솟값은 $x=\pm 1$ 일 때 얻어진다. 따라서 최솟값은 $\pm (1,1)$ 에서 나타나며, 이때 $f$ 의 값은 $2$ 이다.

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