일반 영역의 이중적분 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.2절 · 38번

OpenStax 3권 · 5.2절 · 38번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적분 순서를 바꾸어 적분의 값을 구하세요.

$\int_{0}^{1}\,\int_{x-1}^{1-x}x\,dy\,dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, change the order of integration and evaluate the integral.

$\int_{0}^{1}\,\int_{x-1}^{1-x}x\,dy\,dx$

정답·풀이 보기

$\int_{0}^{1}\,\int_{x-1}^{1-x}x\,dy\,dx=\int_{-1}^{0}\,\int_{0}^{y+1}x\,dx\,dy+\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1-y}x\,dxdy=\frac{1}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{0}^{1}\,\int_{x-1}^{1-x}x\,dy\,dx=\int_{-1}^{0}\,\int_{0}^{y+1}x\,dx\,dy+\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1-y}x\,dxdy=\frac{1}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.2절 · 42번우리말 번역

영역 $D$ 는 다음 그림과 같이 주어져 있다. 더 쉬운 적분 순서를 이용하여 이중적분 $\iint_{D}({x}^{2}-{y}^{2})dA$ 의 값을 구하세요.

영역이 y⁴ = 1 - x, y⁴ = 1 + x 로 둘러싸여 있다.

다 풀었으면 정답 확인

$\iint_{D}({x}^{2}-{y}^{2})dA=\int_{-1}^{1}\,\int_{{y}^{4}-1}^{1-{y}^{4}}({x}^{2}-{y}^{2})dx\,dy=\frac{464}{4095}$