일반 영역의 이중적분 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.2절 · 58번

OpenStax 3권 · 5.2절 · 58번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 곡선 $y=\cos \,x,x=0,\,\text{및}\,y={x}^{3}$ 으로 유계인 영역 $D$ 가 다음 그림에 나타나 있습니다. 그래픽 계산기 또는 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 곡선들의 교점의 x좌표를 구하고, 영역 $D$ 의 넓이를 구하세요. 답을 반올림하여 소수 여섯째 자리까지 나타내세요.

영역이 y = cos x, y = x의 세제곱, x = 0으로 유계이다.

영어 원문 보기

[T] The region $D$ bounded by the curves $y=\cos \,x,x=0,\,\text{and}\,y={x}^{3}$ is shown in the following figure. Use a graphing calculator or CAS to find the x-coordinates of the intersection points of the curves and to determine the area of the region $D.$ Round your answers to six decimal places.

A region is bounded by y = cos x, y = x cubed, and x = 0.

정답·풀이 보기

$0\,\text{and}\,0.865474;$ $A(D)=0.621135$

원본 교재 풀이(영어)

$0\,\text{and}\,0.865474;$ $A(D)=0.621135$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.1절 · 2번우리말 번역

$f(x,y)= 12 x^2y^3$ 이라 하자. 다음 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x$ (b) $\displaystyle \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y$ (c) $\displaystyle \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ (d) $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$ (e) $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

다 풀었으면 정답 확인

(a) $x$ 에 대한 적분에서는 $y$ 를 상수로 취급한다. 따라서

$\begin{aligned} \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x &= \int_0^3 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x = \Big[4x^3y^3\Big]_{x=0}^{x=3} = 108 y^3 \end{aligned}$

(b) $y$ 에 대한 적분에서는 $x$ 를 상수로 취급한다. 따라서

$\begin{aligned} \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y &= \int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}y = \Big[3x^2y^4\Big]_{y=0}^{y=2} = 48x^2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^2\left[\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^2 108y^3\,\mathrm{d}y =\Big[27y^4\Big]_{y=0}^{y=2} \\ &=27\times 16 = 432 \end{aligned}$

(d) (b)에 의해

$\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x &=\int_0^3\left[\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x =\int_0^3 48x^2\,\mathrm{d}y =\Big[16x^3\Big]_{x=0}^{x=3} \\ &=16\times 27 = 432 \end{aligned}$

(e) 이번에는

$\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^3\left[\int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^3\left[4 x^3y^3\right]_0^2\mathrm{d}y =\int_0^3 32 y^3\mathrm{d}y \\ & =\Big[8y^4\Big]_0^3 =8\times 81 = 648 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류