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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 5.4절 · 37번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 변수 x,y, 그리고 zx,y,\,\text{그리고}\,z 의 순환순열 두 가지를 이용하여, 원래 적분의 값과 같은 값을 갖는 새로운 적분을 쓰세요. x,y, 그리고 zx,y,\,\text{그리고}\,z 의 순환순열이란 다음 순서 중 하나로 문자를 나열한 것이다: y,z, 그리고 x 또는 z,x, 그리고 y.y,z,\,\text{그리고}\,x\,\text{또는}\,z,x,\,\text{그리고}\,y.

∫01 ∫−yy ∫01−x4−y4ex dz dx dy\int_{0}^{1}\,\int_{-y}^{y}\,\int_{0}^{1-{x}^{4}-{y}^{4}}{e}^{x}\,dz\,dx\,dy

영어 원문 보기

In the following exercises, use two circular permutations of the variables x,y, and zx,y,\,\text{and}\,z to write new integrals whose values equal the value of the original integral. A circular permutation of x,y, and zx,y,\,\text{and}\,z is the arrangement of the numbers in one of the following orders: y,z, and x or z,x, and y.y,z,\,\text{and}\,x\,\text{or}\,z,x,\,\text{and}\,y.

∫01 ∫−yy ∫01−x4−y4ex dz dx dy\int_{0}^{1}\,\int_{-y}^{y}\,\int_{0}^{1-{x}^{4}-{y}^{4}}{e}^{x}\,dz\,dx\,dy

정답·풀이 보기

∫01 ∫-zz ∫01−y4−z4ex dx dy dz;∫01 ∫-xx ∫01−z4−x4ln⁡z dy dz dx\int_{0}^{1}\,\int_{\text{-z}}^{z}\,\int_{0}^{1-{y}^{4}-{z}^{4}}{e}^{x}\,dx\,dy\,dz; \int_{0}^{1}\,\int_{\text{-x}}^{x}\,\int_{0}^{1-{z}^{4}-{x}^{4}}\ln z\,dy\,dz\,dx

원본 교재 풀이(영어)

∫01 ∫-zz ∫01−y4−z4ex dx dy dz;∫01 ∫-xx ∫01−z4−x4ln⁡z dy dz dx\int_{0}^{1}\,\int_{\text{-z}}^{z}\,\int_{0}^{1-{y}^{4}-{z}^{4}}{e}^{x}\,dx\,dy\,dz; \int_{0}^{1}\,\int_{\text{-x}}^{x}\,\int_{0}^{1-{z}^{4}-{x}^{4}}\ln z\,dy\,dz\,dx

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.4절 · 47번우리말 번역

방정식 x2+y2+z2=r2{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={r}^{2} (단, r>0r>0) 의 구로 둘러싸이고 제1팔분공간에 놓인 입체 EE 가 다음 그림에 나타나 있다.

원점이 중심이고 반지름이 2인 구의, x, y, z 가 양수인 부분인 8분의 1 구.

a. 먼저 zz 에 대해, 다음에 yy 에 대해, 그다음에 xx 에 대해 적분하여 EE 의 부피를 나타내는 삼중적분을 쓰세요. b. a의 적분을 다른 다섯 가지 순서의 같은 값을 갖는 적분으로 다시 쓰세요.

다 풀었으면 정답 확인

a. ∫0r ∫0r2−x2 ∫0r2−x2−y2dz dy dx;\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}dz\,dy\,dx; b. ∫0r ∫0r2−y2 ∫0r2−x2−y2dz dx dy,\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}dz\,dx\,dy, ∫0r ∫0r2−z2 ∫0r2−x2−z2dy dx dz,\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{z}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{z}^{2}}}dy\,dx\,dz, ∫0r ∫0r2−x2 ∫0r2−x2−z2dy dz dx,\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{z}^{2}}}dy\,dz\,dx, ∫0r ∫0r2−z2 ∫0r2−y2−z2dx dy dz,\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{z}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}}dx\,dy\,dz, ∫0r ∫0r2−y2 ∫0r2−y2−z2dx dz dy\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}}dx\,dz\,dy

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# 삼중적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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