삼중적분 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.4절 · 47번

OpenStax 3권 · 5.4절 · 47번대학 수준우리말 번역

방정식 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={r}^{2}$ (단, $r>0$ ) 의 구로 둘러싸이고 제1팔분공간에 놓인 입체 $E$ 가 다음 그림에 나타나 있다.

원점이 중심이고 반지름이 2인 구의, x, y, z 가 양수인 부분인 8분의 1 구.

a. 먼저 $z$ 에 대해, 다음에 $y$ 에 대해, 그다음에 $x$ 에 대해 적분하여 $E$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 쓰세요. b. a의 적분을 다른 다섯 가지 순서의 같은 값을 갖는 적분으로 다시 쓰세요.

영어 원문 보기

The solid $E$ bounded by the sphere of equation ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={r}^{2}$ with $r>0$ and located in the first octant is represented in the following figure.

The eighth of a sphere of radius 2 with center at the origin for positive x, y, and z.

a. Write the triple integral that gives the volume of $E$ by integrating first with respect to $z,$ then with $y,$ and then with $x.$ b. Rewrite the integral in part a. as an equivalent integral in five other orders.

정답·풀이 보기

a. $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}dz\,dy\,dx;$ b. $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}dz\,dx\,dy,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{z}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{z}^{2}}}dy\,dx\,dz,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{z}^{2}}}dy\,dz\,dx,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{z}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}}dx\,dy\,dz,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}}dx\,dz\,dy$

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 13.6절 · 3번우리말 번역

삼중적분의 활용 두 가지를 말하세요.

다 풀었으면 정답 확인

답은 다양할 수 있다. 이 절에서는 삼중적분을 이용하여 입체 영역의 부피, 입체의 질량, 입체의 질량중심을 구하였다.

이 문제로 이어서 풀기

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류