삼중적분 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.4절 · 5번

OpenStax 3권 · 5.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $z$ 에 대해 먼저, 그다음 $x$ 에 대해, 마지막으로 $y$ 에 대해 적분하도록 적분 순서를 바꾸세요.

$\int_{0}^{1}\,\int_{1}^{2}\,\int_{2}^{3}({x}^{2}+\ln \,y+z)dx\,dy\,dz$

영어 원문 보기

In the following exercises, change the order of integration by integrating first with respect to $z,$ then $x,$ then $y.$

$\int_{0}^{1}\,\int_{1}^{2}\,\int_{2}^{3}({x}^{2}+\ln \,y+z)dx\,dy\,dz$

정답·풀이 보기

$\int_{1}^{2}\,\int_{2}^{3}\,\int_{0}^{1}({x}^{2}+\ln \,y+z)dz\,dx\,dy=\frac{35}{6}+2\,\ln \,2$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{1}^{2}\,\int_{2}^{3}\,\int_{0}^{1}({x}^{2}+\ln \,y+z)dz\,dx\,dy=\frac{35}{6}+2\,\ln \,2$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 4번우리말 번역

$R$ 이 정육면체 $0\le x,y,z\le 1$ 중 평면 $y+z=1$ 위쪽이고 평면 $x+y+z=2$ 아래쪽에 있는 부분일 때, $\displaystyle \iiint _R y\ \mathrm{d}V$ 의 값을 구하세요.

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적분 영역은 다음과 같다.

$R = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x,y,z\le 1,\ z\ge 1-y,\ z\le2-x-y\ \big\}$

아래 그림에서 더 진하게 칠한 부분은 $z=1-y$ 의 일부이고, 더 연하게 칠한 부분은 $z=2-x-y$ 의 일부이다.

$R$ 에서 $z$ 는 $0$ (예를 들어 $(0,1,0)$ 은 $R$ 에 속한다)에서 $1$ (예를 들어 $(0,0,1)$ 은 $R$ 에 속한다)까지 변한다.
$0\le z\le 1$ 인 각각의 고정된 $z$ 에 대해, $(x,y)$ 는 다음 영역 위를 움직인다.

$D_z = \big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le x,y\le 1,\ y\ge 1-z,\ x+y\le2-z\ \big\}$

다음은 $D_z$ 를 위에서 본 모양의 개략도이다.

$D_z$ 에서 $y$ 는 $1-z$ 에서 $1$ 까지 변한다.

$0\le z\le 1$ 과 $1-z\le y\le 1$ 인 각각의 고정된 $z$ , $y$ 에 대해, $x$ 는 $0$ 에서 $2-y-z$ 까지 변한다.

따라서 주어진 적분은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \iiint _R y\ \mathrm{d}V &=\int_0^1\mathrm{d}z\iint _{D_z} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\ y =\int_0^1 \mathrm{d}z\int_{1-z}^1 \mathrm{d}y\int_0^{2-y-z} \mathrm{d}x\ y =\int_0^1 \mathrm{d}z\int_{1-z}^1 \mathrm{d}y\ y(2-y-z)\\ &=-\int_0^1 \mathrm{d}z\int_z^0 du\ (1-u)(1+u-z)\qquad\text{ 여기서 $u=1-y$}\\ &=\int_0^1 \mathrm{d}z\int_0^z du\ (1-u^2-z+uz) =\int_0^1 \mathrm{d}z\ \big(z-\frac{z^3}{3}-z^2+\frac{z^3}{2})\\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{12}-\frac{1}{3}+\frac{1}{8} =\frac{5}{24} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼중적분계산자동 분류