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다중적분의 응용(질량·질량중심)

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 5.6절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 얇은 판이 차지하는 영역 RR 이 그래프에 나타나 있습니다. 밀도 함수 ρ\rho 에 대하여 RR 의 질량을 구하세요.

RR 은 y=x,y=−x,y=x+2,y=−x+2y=x,y=-x,y=x+2,y=-x+2 로 둘러싸인 영역입니다. ρ(x,y)=1.\rho (x,y)=1.

한 변의 길이가 2의 제곱근인 정사각형을 45도 회전시킨 모양이며, 꼭짓점은 원점, (2, 0), (1, 1), (-1, 1)에 있다.

영어 원문 보기

In the following exercises, the region RR occupied by a lamina is shown in a graph. Find the mass of RR with the density function ρ.\rho .

RR is the region bounded by y=x,y=−x,y=x+2,y=−x+2;y=x,y=-x,y=x+2,y=-x+2; ρ(x,y)=1.\rho (x,y)=1.

A square with side length square root of 2 rotated 45 degrees, with corners at the origin, (2, 0), (1, 1), and (negative 1, 1).

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원본 교재 풀이(영어)

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한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.6절 · 53번우리말 번역

입체 QQ 의 yz-평면yz\text{-평면}에 대한 관성 모멘트 Ix{I}_{x} 가 삼중적분 ∫02 ∫−4−y24−y2 ∫12(x2+y2)x2+y2(y2+z2)(x2+y2)dz dx dy\int_{0}^{2}\,\int_{-\sqrt{4-{y}^{2}}}^{\sqrt{4-{y}^{2}}}\,\int_{\frac{1}{2}({x}^{2}+{y}^{2})}^{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}({y}^{2}+{z}^{2})({x}^{2}+{y}^{2})dz\,dx\,dy 로 주어진다.

a. QQ 의 밀도를 구하세요. b. xy-평면xy\text{-평면}에 대한 관성 모멘트 Iz{I}_{z} 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

a. ρ(x,y,z)=x2+y2;\rho (x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}; b. 16π7\frac{16\pi }{7}

이 문제로 이어서 풀기
# 다중적분의 응용(질량·질량중심)그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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