다중적분의 응용(질량·질량중심) 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.6절 · 53번

OpenStax 3권 · 5.6절 · 53번대학 수준우리말 번역

입체 $Q$ 의 $yz\text{-평면}$ 에 대한 관성 모멘트 ${I}_{x}$ 가 삼중적분 $\int_{0}^{2}\,\int_{-\sqrt{4-{y}^{2}}}^{\sqrt{4-{y}^{2}}}\,\int_{\frac{1}{2}({x}^{2}+{y}^{2})}^{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}({y}^{2}+{z}^{2})({x}^{2}+{y}^{2})dz\,dx\,dy$ 로 주어진다.

a. $Q$ 의 밀도를 구하세요. b. $xy\text{-평면}$ 에 대한 관성 모멘트 ${I}_{z}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

The solid $Q$ has the moment of inertia ${I}_{x}$ about the $yz\text{-plane}$ given by the triple integral $\int_{0}^{2}\,\int_{-\sqrt{4-{y}^{2}}}^{\sqrt{4-{y}^{2}}}\,\int_{\frac{1}{2}({x}^{2}+{y}^{2})}^{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}({y}^{2}+{z}^{2})({x}^{2}+{y}^{2})dz\,dx\,dy.$

a. Find the density of $Q.$ b. Find the moment of inertia ${I}_{z}$ about the $xy\text{-plane.}$

정답·풀이 보기

a. $\rho (x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2};$ b. $\frac{16\pi }{7}$

원본 교재 풀이(영어)

a. $\rho (x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2};$ b. $\frac{16\pi }{7}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.6절 · 55번우리말 번역

$Q$ 를 $xy\text{-평면}$ , 원기둥 ${x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$ , 평면 $z=1$ 로 둘러싸인 입체라 하자. 여기서 $a>1$ 은 실수이다. 원기둥좌표로 나타낸 밀도가 $\rho (r,\theta ,z)=\frac{{d}^{2}f}{d{r}^{2}}(r)$ 일 때, 이 입체의 $xy\text{-평면}$ 에 대한 모멘트 ${M}_{xy}$ 를 구하세요. 단, $f$ 는 미분가능한 함수이고 $(0,a)$ 에서 1계 도함수와 2계 도함수가 연속이며 미분가능하다.

다 풀었으면 정답 확인

${M}_{xy}=\pi (f(0)-f(a)+a{f}^{'}(a))$

이 문제로 이어서 풀기

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류