다중적분의 응용(질량·질량중심) 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.6절 · 41번

OpenStax 3권 · 5.6절 · 41번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 입체 $Q=\{(x,y,z)|{x}^{2}+{y}^{2}\le 9,0\le z\le 1,x\ge 0,y\ge 0\}$ 의 밀도는 $xy$ 평면까지의 거리와 같습니다. CAS를 사용하여 다음 물음에 답하세요.

a. $Q$ 의 질량을 구하세요. b. $xy$ 평면, $xz$ 평면, $yz$ 평면에 대한 모멘트 ${M}_{xy},{M}_{xz},\text{그리고}\,{M}_{yz}$ 를 각각 구하세요. c. $Q$ 의 질량중심을 구하세요. d. $Q$ 의 그래프를 그리고 질량중심의 위치를 나타내세요.

영어 원문 보기

[T] The solid $Q=\{(x,y,z)|{x}^{2}+{y}^{2}\le 9,0\le z\le 1,x\ge 0,y\ge 0\}$ has density equal to the distance to the $xy\text{-plane}.$ Use a CAS to answer the following questions.

a. Find the mass of $Q.$ b. Find the moments ${M}_{xy},{M}_{xz},\text{and}\,{M}_{yz}$ about the $xy\text{-plane,}$ $xz\text{-plane,}$ and $yz\text{-plane,}$ respectively. c. Find the center of mass of $Q.$ d. Graph $Q$ and locate its center of mass.

정답·풀이 보기

a. $m=\frac{9\pi }{8};$ b. ${M}_{xy}=\frac{3\pi }{4},{M}_{xz}=\frac{9}{2},{M}_{yz}=\frac{9}{2};$ c. $\overset{-}{x}=\frac{4}{\pi },\overset{-}{y}=\frac{4}{\pi },\overset{-}{z}=\frac{2}{3};$ d. 입체 $Q$ 와 그 질량중심은 다음 그림과 같다.

제1사분면에 있는, 높이가 1이고 반지름이 3인 사분원기둥이다. 점 (9/(2 pi), 9/(2 pi), 2/3)이 표시되어 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $m=\frac{9\pi }{8};$ b. ${M}_{xy}=\frac{3\pi }{4},{M}_{xz}=\frac{9}{2},{M}_{yz}=\frac{9}{2};$ c. $\overset{-}{x}=\frac{4}{\pi },\overset{-}{y}=\frac{4}{\pi },\overset{-}{z}=\frac{2}{3};$ d. the solid $Q$ and its center of mass are shown in the following figure.

A quarter cylinder in the first quadrant with height 1 and radius 3. A point is marked at (9/(2 pi), 9/(2 pi), 2/3).

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.6절 · 43번우리말 번역

[계산기 사용] 입체 $Q$ 의 질량이 삼중적분 $\int_{-1}^{1}\,\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\,\int_{0}^{1}{r}^{2}dr\,d\theta \,dz$ 로 주어진다. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 다음 물음에 답하세요.

a. $Q$ 의 무게중심이 $xy\text{-평면}$ 위에 있음을 보이세요. b. $Q$ 의 그래프를 그리고 무게중심의 위치를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

a. $\overset{-}{x}=\frac{3\sqrt{2}}{2\pi },\overset{-}{y}=\frac{3\left(2-\sqrt{2}\right)}{2\pi },\overset{-}{z}=0;$ b. 입체 $Q$ 와 그 무게중심은 다음 그림과 같다.

제1사분면에 있는 원기둥의 쐐기 모양 부분으로, 높이는 2, 반지름은 1, 각은 약 45도이다. 점 (3 곱하기 2의 제곱근/(2 파이), 3 곱하기 (2 빼기 2의 제곱근)/(2 파이), 0)이 표시되어 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)그래프·표 해석자동 분류