다중적분의 응용(질량·질량중심) 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.6절 · 43번

OpenStax 3권 · 5.6절 · 43번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 입체 $Q$ 의 질량이 삼중적분 $\int_{-1}^{1}\,\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\,\int_{0}^{1}{r}^{2}dr\,d\theta \,dz$ 로 주어진다. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 다음 물음에 답하세요.

a. $Q$ 의 무게중심이 $xy\text{-평면}$ 위에 있음을 보이세요. b. $Q$ 의 그래프를 그리고 무게중심의 위치를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The solid $Q$ has the mass given by the triple integral $\int_{-1}^{1}\,\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\,\int_{0}^{1}{r}^{2}dr\,d\theta \,dz.$ Use a CAS to answer the following questions.

a. Show that the center of mass of $Q$ is located in the $xy\text{-plane.}$ b. Graph $Q$ and locate its center of mass.

정답·풀이 보기

a. $\overset{-}{x}=\frac{3\sqrt{2}}{2\pi },\overset{-}{y}=\frac{3\left(2-\sqrt{2}\right)}{2\pi },\overset{-}{z}=0;$ b. 입체 $Q$ 와 그 무게중심은 다음 그림과 같다.

제1사분면에 있는 원기둥의 쐐기 모양 부분으로, 높이는 2, 반지름은 1, 각은 약 45도이다. 점 (3 곱하기 2의 제곱근/(2 파이), 3 곱하기 (2 빼기 2의 제곱근)/(2 파이), 0)이 표시되어 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\overset{-}{x}=\frac{3\sqrt{2}}{2\pi },\overset{-}{y}=\frac{3\left(2-\sqrt{2}\right)}{2\pi },\overset{-}{z}=0;$ b. the solid $Q$ and its center of mass are shown in the following figure.

A wedge from a cylinder in the first quadrant with height 2, radius 1, and angle roughly 45 degrees. A point is marked at (3 times the square root of 2/(2 pi), 3 times (2 minus the square root of 2)/(2 pi), 0).

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.6절 · 35번우리말 번역

다음 연습문제에서, 앞의 두 묶음의 연습문제에서 주어진 영역 $R$ 을 차지하고 밀도 함수 $\rho$ 를 갖는 얇은 판을 생각한다.

a. $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 관성모멘트 ${I}_{x},{I}_{y}$ 와 ${I}_{0}$ 를 각각 구하세요. b. $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 회전반지름을 각각 구하세요.

$R$ 은 $y=x,y=-x,y=x+2,\text{그리고}\,y=-x+2$ 로 둘러싸인 영역이고, $\rho (x,y)=1$ 이다.

다 풀었으면 정답 확인

a. ${I}_{x}=\frac{7}{3},{I}_{y}=\frac{1}{3},\text{and}\,{I}_{0}=\frac{8}{3};$ b. ${R}_{x}=\frac{\sqrt{42}}{6},{R}_{y}=\frac{\sqrt{6}}{6},\text{and}\,{R}_{0}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

이 문제로 이어서 풀기

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