다중적분의 응용(질량·질량중심) 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.6절 · 47번

OpenStax 3권 · 5.6절 · 47번대학 수준우리말 번역

입체 $Q$ 의 질량이 $\int_{0}^{2\sqrt{2}}\,\int_{0}^{\sqrt{8-{x}^{2}}}\,\int_{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}^{\sqrt{16-{x}^{2}-{y}^{2}}}{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{n}dz\,dy\,dx$ 로 주어진다. 여기서 $n$ 은 정수이다. 입체의 질량이 $\left(2-\sqrt{2}\right)\pi$ 가 되도록 하는 $n$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

The mass of a solid $Q$ is given by $\int_{0}^{2\sqrt{2}}\,\int_{0}^{\sqrt{8-{x}^{2}}}\,\int_{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}^{\sqrt{16-{x}^{2}-{y}^{2}}}{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{n}dz\,dy\,dx,$ where $n$ is an integer. Determine $n$ such that the mass of the solid is $\left(2-\sqrt{2}\right)\pi .$

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정답·풀이 보기

$n=-1$

원본 교재 풀이(영어)

$n=-1$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.6절 · 27번우리말 번역

다음 연습문제에서, 앞의 두 묶음의 연습문제에 주어진 영역 $R$ 을 차지하고 밀도 함수 $\rho$ 를 갖는 얇은 판을 생각하세요.

a. 각각 $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 관성모멘트 ${I}_{x},{I}_{y}$ 와 ${I}_{0}$ 을 구하세요. b. 각각 $x\text{축},$ $y\text{축}$ , 원점에 대한 회전반경을 구하세요.

$R$ 은 꼭짓점이 $(0,0),(0,3),(6,3)$ , 그리고 $(6,0);\rho (x,y)=\sqrt{xy}$ 인 직사각형 영역입니다.

다 풀었으면 정답 확인

a. ${I}_{x}=\frac{648\sqrt{2}}{7},{I}_{y}=\frac{2592\sqrt{2}}{7},\text{and}\,{I}_{0}=\frac{3240\sqrt{2}}{7};$ b. ${R}_{y}=\frac{3\sqrt{21}}{7},{R}_{x}=\frac{6\sqrt{21}}{7},\text{and}\,{R}_{0}=\frac{3\sqrt{105}}{7}$

이 문제로 이어서 풀기

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류