다중적분의 응용(질량·질량중심) 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.6절 · 55번

OpenStax 3권 · 5.6절 · 55번대학 수준우리말 번역

$Q$ 를 $xy\text{-평면}$ , 원기둥 ${x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$ , 평면 $z=1$ 로 둘러싸인 입체라 하자. 여기서 $a>1$ 은 실수이다. 원기둥좌표로 나타낸 밀도가 $\rho (r,\theta ,z)=\frac{{d}^{2}f}{d{r}^{2}}(r)$ 일 때, 이 입체의 $xy\text{-평면}$ 에 대한 모멘트 ${M}_{xy}$ 를 구하세요. 단, $f$ 는 미분가능한 함수이고 $(0,a)$ 에서 1계 도함수와 2계 도함수가 연속이며 미분가능하다.

영어 원문 보기

Let $Q$ be the solid bounded by the $xy\text{-plane},$ the cylinder ${x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2},$ and the plane $z=1,$ where $a>1$ is a real number. Find the moment ${M}_{xy}$ of the solid about the $xy\text{-plane}$ if its density given in cylindrical coordinates is $\rho (r,\theta ,z)=\frac{{d}^{2}f}{d{r}^{2}}(r),$ where $f$ is a differentiable function with the first and second derivatives continuous and differentiable on $(0,a).$

정답·풀이 보기

${M}_{xy}=\pi (f(0)-f(a)+a{f}^{'}(a))$

원본 교재 풀이(영어)

${M}_{xy}=\pi (f(0)-f(a)+a{f}^{'}(a))$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.6절 · 59번우리말 번역

원점을 중심으로 하고 밀도가 $\rho (x,y,z)={e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}$ 인 단위 구의 $yz\text{-평면,}$ $xz\text{-평면,}$ $xy\text{-평면}$ 에 대한 관성모멘트 ${I}_{x},{I}_{y},\text{그리고}\,{I}_{z}$ 가 각각 서로 같음을 보이세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

${I}_{x}={I}_{y}={I}_{z}\simeq 0.84$

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