다중적분의 응용(질량·질량중심)

$x^2+y^2=x$ 는 $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4}$ 과 같은 식이고, 이는 중심이 $\left(\frac{1}{2},0\right)$ 이고 반지름이 $\frac{1}{2}$ 인 원이다. 초승달 모양을 $\mathcal{C}$ 라 부르고

$$\begin{aligned} D &= \big\{ \ (x,y)\ \big|\ x^2+y^2\le 1\ \big\} \\ H &= \big\{ \ (x,y)\ \big|\ \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2+y^2\le\tfrac{1}{4}\ \big\} \end{aligned}$$

라 하면

$$\mathcal{C}= D\setminus H$$

이다. 즉 $\mathcal{C}$ 는 원판 $D$ 에서 "구멍" $H$ 를 제거한 것이다. 다음은 개략도이다.

(a) $D$ 는 반지름이 $1$ 인 원판이므로 넓이가 $\pi$ 이다. $H$ 는 반지름이 ${1}/{2}$ 인 원판이므로 넓이가 ${\pi}/{4}$ 이다. $\mathcal{C}$ 의 밀도가 $1$ 이므로

$$\begin{aligned} \text{Mass}(\mathcal{C}) &= \iint _\mathcal{C} \mathrm{d}A = \iint _D\mathrm{d}A -\iint _H\mathrm{d}A \\ &=\pi - \frac{\pi}{4} \\ &=\frac{3\pi}{4} \end{aligned}$$

(b) 정의에 따라 $\mathcal{C}$ 의 질량중심의 $x$좌표는 $\mathcal{C}$ 위에서 $x$ 의 평균값이며, 이는

$$\begin{aligned} \bar x = \frac{\iint _\mathcal{C} x\,\mathrm{d}A}{\iint _\mathcal{C} \mathrm{d}A} \end{aligned}$$

이다. 앞에서 $\iint _\mathcal{C} \mathrm{d}A=\frac{3\pi}{4}$ 임을 이미 구했다. 따라서 분자

$$\iint _\mathcal{C} x\,\mathrm{d}A = \iint _D x\,\mathrm{d}A - \iint _H x\,\mathrm{d}A$$

를 구해야 한다.

$x$ 는 기함수이고 $D$ 는 $x\rightarrow -x$ 에 대해 변하지 않으므로 $\iint _D x\,\mathrm{d}A=0$ 이다. 따라서 $\iint _H x\,\mathrm{d}A$ 만 구하면 된다. 이를 위해 극좌표를 사용하면 $\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이다. 극좌표에서 $x^2 + y^2 = x$ 는 $r^2 =r\cos\theta$, 즉 $r=\cos\theta$ 이다. 따라서 위의 그림((a)의 풀이 바로 앞의 그림)을 보면, 적분 영역에서

• $\theta$ 는 $-\frac{\pi}{2}$ 부터 $\frac{\pi}{2}$ 까지 변한다.
• 그 범위의 각 고정된 $\theta$ 에 대해 $r$ 은 $0$ 부터 $\cos\theta$ 까지 변한다.

따라서 적분은

$$\begin{aligned} \iint _H x\,\mathrm{d}A &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{\cos\theta}\mathrm{d}r\ r\overbrace{(r\cos\theta)}^{x} \\ &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\mathrm{d}\theta \ \frac{\cos^4\theta}{3} \\ &= \frac{\pi}{8} \end{aligned}$$

이다. 이상을 종합하면

$$\begin{aligned} \bar x = \frac{\iint _\mathcal{C} x\,\mathrm{d}A}{\iint _\mathcal{C} \mathrm{d}A} = \frac{\iint _D x\,\mathrm{d}A - \iint _H x\,\mathrm{d}A}{\iint _\mathcal{C} \mathrm{d}A} =\frac{0-\frac{\pi}{8}}{\frac{3\pi}{4}} =-\frac{1}{6} \end{aligned}$$

이다.