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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

변수변환과 야코비안

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 5.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 변환 T:S→RT:S\to R 은 일대일이다. 이에 대응하는 역변환 T−1:R→S{T}^{-1}:R\to S 를 구하세요.

x=u+v,y=v+w,z=u+wx=u+v,y=v+w,z=u+w, 여기서 S=R=R3.S=R={\mathbb{R}}^{3}.

영어 원문 보기

In the following exercises, the transformations T:S→RT:S\to R are one-to-one. Find their related inverse transformations T−1:R→S.{T}^{-1}:R\to S.

x=u+v,y=v+w,z=u+w,x=u+v,y=v+w,z=u+w, where S=R=R3.S=R={\mathbb{R}}^{3}.

정답·풀이 보기

u=x−y+z2,v=x+y−z2,w=−x+y+z2u=\frac{x-y+z}{2},v=\frac{x+y-z}{2},w=\frac{-x+y+z}{2}

원본 교재 풀이(영어)

u=x−y+z2,v=x+y−z2,w=−x+y+z2u=\frac{x-y+z}{2},v=\frac{x+y-z}{2},w=\frac{-x+y+z}{2}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.7절 · 34번우리말 번역

꼭짓점이 (0,0),(2,0),그리고 (1,3)(0,0),(2,0),\text{그리고}\,(1,3) 인 삼각형 모양의 영역 RR 이 다음 그림에 나타나 있습니다.

원점, (2, 0), (1, 3)에 꼭짓점이 있는 삼각형.

a. T−1(0,0)=(0,0),{T}^{-1}(0,0)=(0,0), T−1(2,0)=(1,0),{T}^{-1}(2,0)=(1,0), T−1(1,3)=(0,1){T}^{-1}(1,3)=(0,1) 을 만족시키는 변환 T:S→R,T:S\to R, T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv)T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv) 를 구하세요. 여기서 a,b,ca,b,c 그리고 dd 는 ad−bc≠0ad-bc\ne 0 인 실수입니다. b. 변환 TT 를 이용하여 영역 RR 의 넓이 A(R)A(R) 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

a. T(u,v)=(2u+v,3v);T(u,v)=(2u+v,3v); b. RR 의 넓이는 A(R)=∫03 ∫y/3(6−y)/3dx dy=∫01 ∫01−u∣∂(x,y)∂(u,v)∣dv du=∫01 ∫01−u6dv du=3A(R)=\int_{0}^{3}\,\int_{y/3}^{(6-y)/3}dx\,dy=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1-u}|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}|dv\,du=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1-u}6dv\,du=3 이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 변수변환과 야코비안계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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