변수변환과 야코비안 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.7절 · 34번

OpenStax 3권 · 5.7절 · 34번대학 수준우리말 번역

꼭짓점이 $(0,0),(2,0),\text{그리고}\,(1,3)$ 인 삼각형 모양의 영역 $R$ 이 다음 그림에 나타나 있습니다.

원점, (2, 0), (1, 3)에 꼭짓점이 있는 삼각형.

a. ${T}^{-1}(0,0)=(0,0),$ ${T}^{-1}(2,0)=(1,0),$ ${T}^{-1}(1,3)=(0,1)$ 을 만족시키는 변환 $T:S\to R,$ $T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv)$ 를 구하세요. 여기서 $a,b,c$ 그리고 $d$ 는 $ad-bc\ne 0$ 인 실수입니다. b. 변환 $T$ 를 이용하여 영역 $R$ 의 넓이 $A(R)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

The triangular region $R$ with the vertices $(0,0),(2,0),\text{and}\,(1,3)$ is shown in the following figure.

A triangle with corners at the origin, (2, 0), and (1, 3).

a. Find a transformation $T:S\to R,$ $T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv),$ where $a,b,c$ and $d$ are real numbers with $ad-bc\ne 0$ such that ${T}^{-1}(0,0)=(0,0),$ ${T}^{-1}(2,0)=(1,0),$ and ${T}^{-1}(1,3)=(0,1).$ b. Use the transformation $T$ to find the area $A(R)$ of the region $R.$

정답·풀이 보기

a. $T(u,v)=(2u+v,3v);$ b. $R$ 의 넓이는 $A(R)=\int_{0}^{3}\,\int_{y/3}^{(6-y)/3}dx\,dy=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1-u}|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}|dv\,du=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1-u}6dv\,du=3$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $T(u,v)=(2u+v,3v);$ b. The area of $R$ is $A(R)=\int_{0}^{3}\,\int_{y/3}^{(6-y)/3}dx\,dy=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1-u}|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}|dv\,du=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1-u}6dv\,du=3.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.7절 · 32번우리말 번역

다음 연습문제에서 변환의 야코비안 $J$ 를 구하세요.

$x=u-v,y=u+v,z=u+v+w$

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$2$

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