변수변환과 야코비안 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.7절 · 40번

OpenStax 3권 · 5.7절 · 40번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 변환 $x=u,5y=v$ 를 이용하여 그림과 같이 타원 ${x}^{2}+25{y}^{2}=1$ 로 둘러싸인 영역 $R$ 위에서 적분의 값을 구하세요.

${\iint_{R}({x}^{2}+25{y}^{2})}^{2}dA$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the transformation $x=u,5y=v$ to evaluate the integrals on the region $R$ bounded by the ellipse ${x}^{2}+25{y}^{2}=1$ shown in the following figure.

${\iint_{R}({x}^{2}+25{y}^{2})}^{2}dA$

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정답·풀이 보기

$\frac{\pi }{15}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\pi }{15}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.7절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서 변환 $T:S\to R$ 가 일대일인지 아닌지 판단하세요.

$T(u,v)=(2u-v,u)$ , 여기서 $S$ 는 꼭짓점이 $(-1,1),(-1,-1),\text{그리고}\,(1,-1)$ 인 삼각형이다.

다 풀었으면 정답 확인

$T$ 는 일대일이다: 귀류법으로 논증한다. $T({u}_{1},{v}_{1})=T({u}_{2},{v}_{2})$ 이면 $2{u}_{1}-{v}_{1}=2{u}_{2}-{v}_{2}$ 이고 ${u}_{1}={u}_{2}$ 이다. 따라서 ${u}_{1}={u}_{2}$ 이고 ${v}_{1}={v}_{2}$ 이다.

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# 변수변환과 야코비안그래프·표 해석자동 분류