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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

변수변환과 야코비안

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 5.7절 · 54번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] Ti:R2→R2,{T}_{i}:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2}, i=1,…, 4i=1,\ldots ,\,4 로 정의된 변환 T1(u,v)=(u,−v),{T}_{1}(u,v)=(u,-v), T2(u,v)=(−u,v),T3(u,v)=(−u,−v){T}_{2}(u,v)=(-u,v),{T}_{3}(u,v)=(-u,-v), 그리고 T4(u,v)=(v,u){T}_{4}(u,v)=(v,u) 를 각각 x축,y축x\text{축},y\text{축}, 원점, 직선 y=xy=x 에 대한 대칭이동이라 한다.

a. 변환 T1∘T2∘T3∘T4{T}_{1}\circ {T}_{2}\circ {T}_{3}\circ {T}_{4} 에 의한 영역 S={(u,v)∣u2+v2−2u−4v+1≤0}S=\{(u,v)|{u}^{2}+{v}^{2}-2u-4v+1\le 0\} 의 xy평면xy\text{평면} 위의 상을 구하세요. b. CAS를 사용하여 SS 의 상의 그래프를 그리세요. c. CAS를 사용하여 적분 ∬Ssin⁡(u2)du dv\iint_{S}\sin ({u}^{2})du\,dv 의 값을 구하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

[T] The transformations Ti:R2→R2,{T}_{i}:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2}, i=1,…, 4,i=1,\ldots ,\,4, defined by T1(u,v)=(u,−v),{T}_{1}(u,v)=(u,-v), T2(u,v)=(−u,v),T3(u,v)=(−u,−v),{T}_{2}(u,v)=(-u,v),{T}_{3}(u,v)=(-u,-v), and T4(u,v)=(v,u){T}_{4}(u,v)=(v,u) are called reflections about the x-axis,y-axis,x\text{-axis},y\text{-axis}, origin, and the line y=x,y=x, respectively.

a. Find the image of the region S={(u,v)∣u2+v2−2u−4v+1≤0}S=\{(u,v)|{u}^{2}+{v}^{2}-2u-4v+1\le 0\} in the xy-planexy\text{-plane} through the transformation T1∘T2∘T3∘T4.{T}_{1}\circ {T}_{2}\circ {T}_{3}\circ {T}_{4}. b. Use a CAS to graph the image of S.S. c. Evaluate the integral ∬Ssin⁡(u2)du dv\iint_{S}\sin ({u}^{2})du\,dv by using a CAS. Round your answer to two decimal places.

정답·풀이 보기

a. R={(x,y)∣y2+x2−2y−4x+1≤0};R=\{(x,y)|{y}^{2}+{x}^{2}-2y-4x+1\le 0\}; b. RR 의 그래프는 다음 그림과 같다;

반지름이 2이고 중심이 (2, 1)인 원.

c. 3.163.16

원본 교재 풀이(영어)

a. R={(x,y)∣y2+x2−2y−4x+1≤0};R=\{(x,y)|{y}^{2}+{x}^{2}-2y-4x+1\le 0\}; b. RR is graphed in the following figure;

A circle with radius 2 and center (2, 1).

c. 3.163.16

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.7절 · 56번우리말 번역

[계산기 사용] 변환 Ta,0:R2→R2,Ta,0(u,v)=(u+av,v){T}_{a,0}:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},{T}_{a,0}(u,v)=(u+av,v) (단, a≠0a\ne 0 은 실수)를 xx방향 전단변환이라고 합니다. 변환 T0,b:R2→R2,T0,b(u,v)=(u,bu+v){T}_{0,b}:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},{T}_{0,b}(u,v)=(u,bu+v) (단, b≠0b\ne 0 은 실수)를 yy방향 전단변환이라고 합니다.

a. 변환 T0,2∘T3,0{T}_{0,2}\circ {T}_{3,0} 을 구하세요. b. u=0,v=0,v=1u=0,v=0,v=1, 그리고 v=2−uv=2-u 로 둘러싸인 사다리꼴 영역 SS 의 변환 T0,2∘T3,0{T}_{0,2}\circ {T}_{3,0} 에 의한 상 RR 을 구하세요. c. CAS를 사용하여 상 RR 의 그래프를 xyxy평면에 그리세요. d. 영역 SS 의 넓이를 이용하여 영역 RR 의 넓이를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

a. T0,2∘T3,0(u,v)=(u+3v,2u+7v){T}_{0,2}\circ {T}_{3,0}(u,v)=(u+3v,2u+7v) 이다. b. 상 RR 은 꼭짓점이 (0,0),(3,7),(2,4),그리고 (4,9)(0,0),(3,7),(2,4),\text{그리고}\,(4,9) 인 사각형이다. c. SS 의 그래프는 다음 그림과 같다.

원점, (2, 4), (4, 9), (3, 7)을 꼭짓점으로 하는 사각형.

d. 32\frac{3}{2}

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# 변수변환과 야코비안그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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