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변수변환과 야코비안

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 5.7절 · 56번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 변환 Ta,0:R2→R2,Ta,0(u,v)=(u+av,v){T}_{a,0}:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},{T}_{a,0}(u,v)=(u+av,v) (단, a≠0a\ne 0 은 실수)를 xx방향 전단변환이라고 합니다. 변환 T0,b:R2→R2,T0,b(u,v)=(u,bu+v){T}_{0,b}:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},{T}_{0,b}(u,v)=(u,bu+v) (단, b≠0b\ne 0 은 실수)를 yy방향 전단변환이라고 합니다.

a. 변환 T0,2∘T3,0{T}_{0,2}\circ {T}_{3,0} 을 구하세요. b. u=0,v=0,v=1u=0,v=0,v=1, 그리고 v=2−uv=2-u 로 둘러싸인 사다리꼴 영역 SS 의 변환 T0,2∘T3,0{T}_{0,2}\circ {T}_{3,0} 에 의한 상 RR 을 구하세요. c. CAS를 사용하여 상 RR 의 그래프를 xyxy평면에 그리세요. d. 영역 SS 의 넓이를 이용하여 영역 RR 의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The transformation Ta,0:R2→R2,Ta,0(u,v)=(u+av,v),{T}_{a,0}:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},{T}_{a,0}(u,v)=(u+av,v), where a≠0a\ne 0 is a real number, is called a shear in the x-direction.x\text{-direction}. The transformation, T0,b:R2→R2,T0,b(u,v)=(u,bu+v),{T}_{0,b}:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},{T}_{0,b}(u,v)=(u,bu+v), where b≠0b\ne 0 is a real number, is called a shear in the y-direction.y\text{-direction}.

a. Find transformations T0,2∘T3,0.{T}_{0,2}\circ {T}_{3,0}. b. Find the image RR of the trapezoidal region SS bounded by u=0,v=0,v=1,u=0,v=0,v=1, and v=2−uv=2-u through the transformation T0,2∘T3,0.{T}_{0,2}\circ {T}_{3,0}. c. Use a CAS to graph the image RR in the xy-plane.xy\text{-plane}. d. Find the area of the region RR by using the area of region S.S.

정답·풀이 보기

a. T0,2∘T3,0(u,v)=(u+3v,2u+7v){T}_{0,2}\circ {T}_{3,0}(u,v)=(u+3v,2u+7v) 이다. b. 상 RR 은 꼭짓점이 (0,0),(3,7),(2,4),그리고 (4,9)(0,0),(3,7),(2,4),\text{그리고}\,(4,9) 인 사각형이다. c. SS 의 그래프는 다음 그림과 같다.

원점, (2, 4), (4, 9), (3, 7)을 꼭짓점으로 하는 사각형.

d. 32\frac{3}{2}

원본 교재 풀이(영어)

a. T0,2∘T3,0(u,v)=(u+3v,2u+7v);{T}_{0,2}\circ {T}_{3,0}(u,v)=(u+3v,2u+7v); b. The image RR is the quadrilateral of vertices (0,0),(3,7),(2,4),and (4,9);(0,0),(3,7),(2,4),\text{and}\,(4,9); c. SS is graphed in the following figure;

A four-sided figure with points the origin, (2, 4), (4, 9), and (3, 7).

d. 32\frac{3}{2}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.7절 · 48번우리말 번역

[계산기 사용] 변환 u=xyu=xy 와 v=yxv=\frac{y}{x} 를 이용하여 곡선 xy=2,xy=3,y=xxy=2,xy=3,y=x 와 y=2xy=2x 로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 영역의 넓이는 ln⁡22\frac{\ln 2}{2} 이다. 이 영역의 그래프는 다음과 같다.

네 개의 선이 그려져 있다. 즉 y = 3, y = 2, y = 3/(x의 제곱), y = 2/(x의 제곱)이다. 직선 y = 3과 y = 2는 서로 평행하다. y = 3/(x의 제곱)과 y = 2/(x의 제곱)은 곡선이며, 서로 어느 정도 평행하게 뻗어 있다.

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# 변수변환과 야코비안그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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