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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

발산과 회전

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 6.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요.

F 가 상수 벡터장이면 curl F=0.\text{curl}\,\text{F}=0.

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the statement is true or false.

If F is a constant vector field then curl F=0.\text{curl}\,\text{F}=0.

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참

원본 교재 풀이(영어)

True

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.1절 · 8번우리말 번역

다음과 같이 두자.

r=x ı^+y ȷ^+z k^,r=∣r∣\mathbf{r} = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}},\qquad r = |\mathbf{r}|

(a) ∇(1r)=−ra r{ \boldsymbol{\nabla} }\big(\frac{1}{r}\big) =- r^a\,\mathbf{r} 를 만족하는 aa 의 값을 구하세요. (b) ∇⋅(r r)=ar{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big(r\,\mathbf{r}\big) = ar 를 만족하는 aa 의 값을 구하세요. (c) ∇⋅(∇(r3))=ar{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big({ \boldsymbol{\nabla} }(r^3)\big) = ar 를 만족하는 aa 의 값을 구하세요.

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(a)
(b)
(c)
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(a) 다음과 같으므로

∇(1r)=(ı^∂∂x+ȷ^∂∂y+k^∂∂z)(x2+y2+z2)−1/2=−ı^x(x2+y2+z2)3/2−ȷ^y(x2+y2+z2)3/2−k^z(x2+y2+z2)3/2=−ı^xr3−ȷ^yr3−k^xr3\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\left(\frac{1}{r}\right) &= \left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\frac{\partial }{\partial x} +\hat{\boldsymbol{\jmath}}\frac{\partial }{\partial y} +\hat{\mathbf{k}}\frac{\partial }{\partial z} \right) \big(x^2+y^2+z^2\big)^{-1/2} \\ &=-\hat{\boldsymbol{\imath}}\frac{x}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{3/2}} -\hat{\boldsymbol{\jmath}}\frac{y}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{3/2}} -\hat{\mathbf{k}}\frac{z}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{3/2}} \\ &=-\hat{\boldsymbol{\imath}}\frac{x}{r^3} -\hat{\boldsymbol{\jmath}}\frac{y}{r^3} -\hat{\mathbf{k}}\frac{x}{r^3} \end{aligned}

a=−3a=-3 이다.

(b) 다음과 같으므로

∇⋅(r r)=∂∂x[(x2+y2+z2)1/2x]+∂∂y[(x2+y2+z2)1/2y]+∂∂z[(x2+y2+z2)1/2z]=3(x2+y2+z2)1/2+122x2+2y2+2z2(x2+y2+z2)1/2=4(x2+y2+z2)1/2=4r\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big(r\,\mathbf{r}\big) &= \frac{\partial }{\partial x} \Big[\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}x\Big] +\frac{\partial }{\partial y}\Big[\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}y\Big] +\frac{\partial }{\partial z} \Big[\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}z\Big] \\ &= 3\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2} +\frac{1}{2}\frac{2x^2+2y^2+2z^2}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}} =4\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2} =4r \end{aligned}

a=4a=4 이다.

(c) 다음과 같으므로

∇(r3)=(ı^∂∂x+ȷ^∂∂y+k^∂∂z)(x2+y2+z2)3/2=ı^ 3x(x2+y2+z2)1/2+ȷ^ 3y(x2+y2+z2)1/2+k^ 3z(x2+y2+z2)1/2=3rr\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }(r^3) &= \left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\frac{\partial }{\partial x} +\hat{\boldsymbol{\jmath}}\frac{\partial }{\partial y} +\hat{\mathbf{k}}\frac{\partial }{\partial z} \right) \big(x^2+y^2+z^2\big)^{3/2} \\ &=\hat{\boldsymbol{\imath}}\,3x\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2} +\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,3y\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2} +\hat{\mathbf{k}}\,3z\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2} \\ &=3r\mathbf{r} \end{aligned}

다음을 얻는다.

∇⋅(∇(r3))=∇⋅(3rr)=3 ∇⋅(rr)=3 (4r)(b)에 의해=12r\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big({ \boldsymbol{\nabla} }(r^3)\big) &= { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big(3r\mathbf{r}\big) = 3\,{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big(r\mathbf{r}\big) = 3\,\big(4r\big) \qquad\text{(b)에 의해} \\ &= 12 r \end{aligned}

따라서 a=12a=12 이다.

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# 발산과 회전개념 확인자동 분류
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