빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

발산과 회전

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 6.5절 · 62번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, R3{\mathbb{R}}^{3} 안의 입체가 T(x,y,z)=100e−x2+y2+z2T(x,y,z)=100{e}^{-{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}} 으로 주어지는 온도 분포를 가진다고 하자. 이 물체 안의 열 흐름 벡터장은 F=−k∇T\text{F}=-k\nabla T 이며, 여기서 k>0k>0 은 물질의 성질이다. 열 흐름 벡터는 기울기(그래디언트)와 반대 방향, 즉 온도가 가장 크게 감소하는 방향을 가리킨다. 열 흐름 벡터의 발산은 ∇⋅F=−k∇⋅∇T=−k∇2T\nabla \cdot \text{F}=-k\nabla \cdot \nabla T=-k{\nabla }^{2}T 이다.

발산을 계산하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose a solid object in R3{\mathbb{R}}^{3} has a temperature distribution given by T(x,y,z)=100e−x2+y2+z2T(x,y,z)=100{e}^{-{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}. The heat flow vector field in the object is F=−k∇T,\text{F}=-k\nabla T, where k>0k>0 is a property of the material. The heat flow vector points in the direction opposite to that of the gradient, which is the direction of greatest temperature decrease. The divergence of the heat flow vector is ∇⋅F=−k∇⋅∇T=−k∇2T.\nabla \cdot \text{F}=-k\nabla \cdot \nabla T=-k{\nabla }^{2}T.

Compute the divergence.

정답·풀이 보기

∇⋅F=−200k[1+2(x2+y2+z2)]e−x2+y2+z2\nabla \cdot \text{F}=-200k[1+2({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})]{e}^{-{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}

원본 교재 풀이(영어)

∇⋅F=−200k[1+2(x2+y2+z2)]e−x2+y2+z2\nabla \cdot \text{F}=-200k[1+2({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})]{e}^{-{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.5절 · 60번우리말 번역

다음 연습문제에서, ∇⋅F=0\nabla \cdot \text{F}=0 이고 ∇⋅G=0\nabla \cdot \text{G}=0 이라고 하세요.

F × G\text{F}\,\times \,\text{G} 는 반드시 발산이 0인가요?

다 풀었으면 정답 확인

F × G\text{F}\,\times \,\text{G} 는 발산이 0이 아니다.

이 문제로 이어서 풀기
# 발산과 회전활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

「발산과 회전」 문제 목록으로