삼각함수를 포함한 방정식과 부등식 연습문제 (대수)

1.OpenStax Algebra and Trigonometry · 9.5절 · 45번우리말 풀이

구간 $[0,2\pi)$ 에서 방정식 $3\cos^{2}x-2\cos x-2=0$ 의 해를 정확한 값으로 구하세요. 인수분해가 안 되면 근의 공식을 쓰세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, solve exactly on the interval $[0,2\pi ).$ Use the quadratic formula if the equations do not factor.

$3\,{\cos }^{2}x-2\,\cos \,x-2=0$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$\cos x=t$ 로 보고 $3t^2-2t-2=0$ 을 먼저 푼 뒤, $-1\le t\le 1$ 인 값만 골라 각을 구해요.

1
$t=\cos x$ 로 바꿔요. $3t^{2}-2t-2=0$ 인데 인수분해가 잘 안 되니 근의 공식을 써요.
2
근의 공식. $t=\dfrac{2\pm\sqrt{4+24}}{6}=\dfrac{2\pm2\sqrt7}{6}=\dfrac{1\pm\sqrt7}{3}$
3
범위를 확인해요. $\cos x$ 는 $-1$ 이상 $1$ 이하예요. $\dfrac{1+\sqrt7}{3}\approx1.215>1$ 이라 해가 없고, $\dfrac{1-\sqrt7}{3}\approx-0.549$ 는 가능해요.
4
각을 구해요. $\cos x=\dfrac{1-\sqrt7}{3}$ 이 음수이므로 $x$ 는 제2사분면과 제3사분면에 하나씩 있어요. 제2사분면 해는 $x=\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right)\approx2.151$ 이고, 제3사분면 해는 $x=2\pi-\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right)\approx4.132$ 예요.

답

$x=\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right)$ 와 $x=2\pi-\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right)$ (근삿값 $2.151,\ 4.132$ )

자주 하는 실수

$\cos x=\dfrac{1+\sqrt7}{3}$ 도 풀려고 하는 실수가 많아요. 코사인 값이 $1$ 보다 크면 해가 없어요. 또 제3사분면 해를 빠뜨려 한 개만 쓰기 쉬워요.

원본 교재 풀이(영어)

${\cos }^{-1}\left(\frac{1}{3}\left(1-\sqrt{7}\right)\right)$ , $2\pi -{\cos }^{-1}\left(\frac{1}{3}\left(1-\sqrt{7}\right)\right)$