삼각함수 전체 연습문제 (대수)

1.OpenStax Algebra and Trigonometry · 7.1절 · 55번우리말 풀이

$0$ 과 $2\pi$ 사이의 각 중에서 $\dfrac{10\pi}{3}$ 라디안과 같은 위치(동경)를 갖는 각을 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the angle between 0 and $2\pi$ in radians that is coterminal to the given angle.

$\frac{10\pi }{3}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

각에 $2\pi$ (한 바퀴)를 더하거나 빼도 같은 위치예요. $0\le\theta<2\pi$ 가 될 때까지 $2\pi$ 를 빼요.

1
한 바퀴를 확인해요. 한 바퀴는 $2\pi=\dfrac{6\pi}{3}$ 예요.
2
한 바퀴를 빼요. $\dfrac{10\pi}{3}-\dfrac{6\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$
3
범위를 확인해요. $\dfrac{4\pi}{3}\approx 4.19$ 이고 $0\le\dfrac{4\pi}{3}<2\pi$ 라서 조건에 맞아요.

답

$\dfrac{4\pi}{3}$

자주 하는 실수

$2\pi$ 를 두 번 빼서 $-\dfrac{2\pi}{3}$ 처럼 음수 각을 답하거나, 반 바퀴인 $\pi$ 만 빼서 $\dfrac{7\pi}{3}$ 로 두는 실수가 있어요. 같은 위치는 한 바퀴( $2\pi$ )씩 더하거나 빼서 만들고, 마지막에 $0$ 과 $2\pi$ 사이인지 꼭 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{4\pi }{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 7장 복습 · 3번

# 일반각과 호도법계산기본

2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 9.5절 · 45번우리말 풀이

구간 $[0,2\pi)$ 에서 방정식 $3\cos^{2}x-2\cos x-2=0$ 의 해를 정확한 값으로 구하세요. 인수분해가 안 되면 근의 공식을 쓰세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, solve exactly on the interval $[0,2\pi ).$ Use the quadratic formula if the equations do not factor.

$3\,{\cos }^{2}x-2\,\cos \,x-2=0$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$\cos x=t$ 로 보고 $3t^2-2t-2=0$ 을 먼저 푼 뒤, $-1\le t\le 1$ 인 값만 골라 각을 구해요.

1
$t=\cos x$ 로 바꿔요. $3t^{2}-2t-2=0$ 인데 인수분해가 잘 안 되니 근의 공식을 써요.
2
근의 공식. $t=\dfrac{2\pm\sqrt{4+24}}{6}=\dfrac{2\pm2\sqrt7}{6}=\dfrac{1\pm\sqrt7}{3}$
3
범위를 확인해요. $\cos x$ 는 $-1$ 이상 $1$ 이하예요. $\dfrac{1+\sqrt7}{3}\approx1.215>1$ 이라 해가 없고, $\dfrac{1-\sqrt7}{3}\approx-0.549$ 는 가능해요.
4
각을 구해요. $\cos x=\dfrac{1-\sqrt7}{3}$ 이 음수이므로 $x$ 는 제2사분면과 제3사분면에 하나씩 있어요. 제2사분면 해는 $x=\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right)\approx2.151$ 이고, 제3사분면 해는 $x=2\pi-\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right)\approx4.132$ 예요.

답

$x=\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right)$ 와 $x=2\pi-\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right)$ (근삿값 $2.151,\ 4.132$ )

자주 하는 실수

$\cos x=\dfrac{1+\sqrt7}{3}$ 도 풀려고 하는 실수가 많아요. 코사인 값이 $1$ 보다 크면 해가 없어요. 또 제3사분면 해를 빠뜨려 한 개만 쓰기 쉬워요.

원본 교재 풀이(영어)

${\cos }^{-1}\left(\frac{1}{3}\left(1-\sqrt{7}\right)\right)$ , $2\pi -{\cos }^{-1}\left(\frac{1}{3}\left(1-\sqrt{7}\right)\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 9장 복습 · 45번

# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산도전

3.OpenStax Algebra and Trigonometry · 10.2절 · 11번우리말 풀이

삼각형에서 각 $\alpha,\beta,\gamma$ 의 맞은편 변을 각각 $a,b,c$ 라 해요. $\gamma=113^\circ,\ b=10,\ c=32$ 일 때 모르는 변 $a$ 를 소수 첫째 자리까지 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, assume $\alpha$ is opposite side $a,\beta$ is opposite side $b,$ and $\gamma$ is opposite side $c.$ If possible, solve each triangle for the unknown side. Round to the nearest tenth.

$\gamma =113^\circ ,b=10,c=32$

답 쓰고 채점

풀이 보기

각 $\gamma$ 와 그 맞은편 변 $c$ 가 주어졌으니 코사인법칙 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ 에서 $a$ 에 대한 이차방정식을 세워요.

1
코사인법칙을 써요. $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma$ 에 넣으면 $32^{2}=a^{2}+10^{2}-2\cdot a\cdot 10\cos 113^\circ$ 예요.
2
수치를 넣어 정리해요. $\cos 113^\circ\approx -0.39073$ 이므로 $-20a\cos113^\circ\approx +7.8146a$ 예요. 그래서 $1024=a^2+100+7.8146a$ , 즉 $a^{2}+7.8146a-924=0$ 이에요.
3
근의 공식으로 풀어요. $a=\dfrac{-7.8146\pm\sqrt{7.8146^{2}+4\cdot 924}}{2}=\dfrac{-7.8146\pm\sqrt{3757.07}}{2}$ 이고 $\sqrt{3757.07}\approx 61.295$ 이에요.
4
길이는 양수만 써요. $a=\dfrac{-7.8146+61.295}{2}\approx 26.74\approx 26.7$ (음수 근은 버려요).
5
확인해요. 사인법칙으로도 $\sin\beta=\dfrac{10\sin113^\circ}{32}\approx0.2876$ , $\beta\approx16.7^\circ$ 이고 $\alpha\approx50.3^\circ$ 가 되어 $a=\dfrac{32\sin\alpha}{\sin113^\circ}\approx26.7$ 로 같아요.