빌드라인 스쿨

문제 은행 · 기초 수학 · 대수 · 삼각함수

삼각함수를 포함한 방정식과 부등식

그래프와 단위원을 이용해 삼각방정식·삼각부등식을 푼다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

265문제 · 1 / 14쪽

1.OpenStax Algebra and Trigonometry · 9.5절 · 45번우리말 풀이

구간 [0,2π)[0,2\pi) 에서 방정식 3cos⁡2x−2cos⁡x−2=03\cos^{2}x-2\cos x-2=0 의 해를 정확한 값으로 구하세요. 인수분해가 안 되면 근의 공식을 쓰세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, solve exactly on the interval [0,2π).[0,2\pi ). Use the quadratic formula if the equations do not factor.

3 cos⁡2x−2 cos⁡ x−2=03\,{\cos }^{2}x-2\,\cos \,x-2=0

답 쓰고 채점
풀이 보기

cos⁡x=t\cos x=t 로 보고 3t2−2t−2=03t^2-2t-2=0 을 먼저 푼 뒤, −1≤t≤1-1\le t\le 1 인 값만 골라 각을 구해요.

  1. 1

    t=cos⁡xt=\cos x 로 바꿔요. 3t2−2t−2=03t^{2}-2t-2=0 인데 인수분해가 잘 안 되니 근의 공식을 써요.

  2. 2

    근의 공식. t=2±4+246=2±276=1±73t=\dfrac{2\pm\sqrt{4+24}}{6}=\dfrac{2\pm2\sqrt7}{6}=\dfrac{1\pm\sqrt7}{3}

  3. 3

    범위를 확인해요. cos⁡x\cos x 는 −1-1 이상 11 이하예요. 1+73≈1.215>1\dfrac{1+\sqrt7}{3}\approx1.215>1 이라 해가 없고, 1−73≈−0.549\dfrac{1-\sqrt7}{3}\approx-0.549 는 가능해요.

  4. 4

    각을 구해요. cos⁡x=1−73\cos x=\dfrac{1-\sqrt7}{3} 이 음수이므로 xx 는 제2사분면과 제3사분면에 하나씩 있어요. 제2사분면 해는 x=cos⁡−1 ⁣(1−73)≈2.151x=\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right)\approx2.151 이고, 제3사분면 해는 x=2π−cos⁡−1 ⁣(1−73)≈4.132x=2\pi-\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right)\approx4.132 예요.

답

x=cos⁡−1 ⁣(1−73)x=\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right) 와 x=2π−cos⁡−1 ⁣(1−73)x=2\pi-\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right) (근삿값 2.151, 4.1322.151,\ 4.132)

자주 하는 실수

cos⁡x=1+73\cos x=\dfrac{1+\sqrt7}{3} 도 풀려고 하는 실수가 많아요. 코사인 값이 11 보다 크면 해가 없어요. 또 제3사분면 해를 빠뜨려 한 개만 쓰기 쉬워요.

원본 교재 풀이(영어)

cos⁡−1(13(1−7)){\cos }^{-1}\left(\frac{1}{3}\left(1-\sqrt{7}\right)\right), 2π−cos⁡−1(13(1−7))2\pi -{\cos }^{-1}\left(\frac{1}{3}\left(1-\sqrt{7}\right)\right)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 9장 복습 · 45번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산도전
2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 1번우리말 번역

함수 f(x)=sin⁡−1xf(x)={\sin }^{-1}x 와 g(x)=cos⁡−1xg(x)={\cos }^{-1}x 는 왜 치역이 서로 다른가요?

영어 원문 보기

Why do the functions f(x)=sin⁡−1xf(x)={\sin }^{-1}x and g(x)=cos⁡−1xg(x)={\cos }^{-1}x have different ranges?

정답·풀이 보기

함수 y=sin⁡xy=\sin x 는 [−π2,π2]\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] 에서 일대일이므로, 이 구간이 y=sin⁡xy=\sin x 의 역함수 f(x)=sin⁡−1xf(x)={\sin }^{-1}x 의 치역이다. 함수 y=cos⁡xy=\cos x 는 [0,π][0,\pi ] 에서 일대일이므로, 이 구간이 y=cos⁡x,f(x)=cos⁡−1xy=\cos x,f(x)={\cos }^{-1}x 의 역함수의 치역이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function y=sin⁡xy=\sin x is one-to-one on [−π2,π2];\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]; thus, this interval is the range of the inverse function of y=sin⁡x,y=\sin x, f(x)=sin⁡−1x.f(x)={\sin }^{-1}x. The function y=cos⁡xy=\cos x is one-to-one on [0,π];[0,\pi ]; thus, this interval is the range of the inverse function of y=cos⁡x,f(x)=cos⁡−1x.y=\cos x,f(x)={\cos }^{-1}x.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 31번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
3.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 2번우리말 번역

함수 y=cos⁡ xy=\cos \,x 와 y=cos⁡−1xy={\cos }^{-1}x 는 서로 역함수인데, cos⁡−1(cos⁡(−π6)){\cos }^{-1}\left(\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)\right) 는 왜 −π6-\frac{\pi }{6} 와 같지 않은가요?

영어 원문 보기

Since the functions y=cos⁡ xy=\cos \,x and y=cos⁡−1xy={\cos }^{-1}x are inverse functions, why is cos⁡−1(cos⁡(−π6)){\cos }^{-1}\left(\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)\right) not equal to −π6?-\frac{\pi }{6}?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 9.5절 · 49번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
4.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 3번우리말 번역

π6=arcsin⁡(0.5)\frac{\pi }{6}=\arcsin (0.5) 의 의미를 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain the meaning of π6=arcsin⁡(0.5).\frac{\pi }{6}=\arcsin (0.5).

정답·풀이 보기

π6\frac{\pi }{6} 는 사인 값이 0.5이면서 −π2-\frac{\pi }{2} 와 π2\frac{\pi }{2} 사이에 있는 각의 라디안 크기이다.

원본 교재 풀이(영어)

π6\frac{\pi }{6} is the radian measure of an angle between −π2-\frac{\pi }{2} and π2\frac{\pi }{2} whose sine is 0.5.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 7장 복습 · 45번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
5.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 4번우리말 번역

대부분의 계산기에는 sec⁡−1(2){\sec }^{-1}(2) 의 값을 구하는 단추가 없습니다. 코사인 함수 또는 역코사인 함수를 이용하여 이를 어떻게 구할 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Most calculators do not have a key to evaluate sec⁡−1(2).{\sec }^{-1}(2). Explain how this can be done using the cosine function or the inverse cosine function.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 7.5절 · 13번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
6.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 5번우리말 번역

역사인 함수가 존재하려면 사인 함수 sin⁡ x\sin \,x 의 정의역을 [−π2,π2]\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] 로 제한해야 하는 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Why must the domain of the sine function, sin⁡ x,\sin \,x, be restricted to [−π2,π2]\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] for the inverse sine function to exist?

정답·풀이 보기

어떤 함수가 역함수를 가지려면 그 함수는 일대일이어야 하고 수평선 판정법을 통과해야 한다. 일반적인 사인 함수는 정의역을 어떤 방식으로든 제한하지 않으면 일대일이 아니다. 수학자들은 사인 함수가 일대일이 되어 역함수를 갖도록 정의역을 구간 [−π2,π2]\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] 로 제한하기로 약속했다.

원본 교재 풀이(영어)

In order for any function to have an inverse, the function must be one-to-one and must pass the horizontal line test. The regular sine function is not one-to-one unless its domain is restricted in some way. Mathematicians have agreed to restrict the sine function to the interval [−π2,π2]\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] so that it is one-to-one and possesses an inverse.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 21번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
7.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 6번우리말 번역

다음 명제가 옳지 않은 이유를 논하세요: 모든 xx 에 대해 arccos⁡(cos⁡ x)=x\arccos (\cos \,x)=x 이다.

영어 원문 보기

Discuss why this statement is incorrect: arccos⁡(cos⁡ x)=x\arccos (\cos \,x)=x for all x.x.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 39번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
8.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 8번우리말 번역

다음 문제에서 식의 값을 구하세요.

sin⁡−1(22){\sin }^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the expressions.

sin⁡−1(22){\sin }^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 7.5절 · 81번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
9.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 9번우리말 번역

다음 문제에서 식의 값을 구하세요.

sin⁡−1(−12){\sin }^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the expressions.

sin⁡−1(−12){\sin }^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

−π6-\frac{\pi }{6}

원본 교재 풀이(영어)

−π6-\frac{\pi }{6}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 39번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
10.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 10번우리말 번역

다음 문제에서 식의 값을 구하세요.

cos⁡−1(12){\cos }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the expressions.

cos⁡−1(12){\cos }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 7.5절 · 9번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
11.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 11번우리말 번역

다음 문제에서 식의 값을 구하세요.

cos⁡−1(−22){\cos }^{-1}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the expressions.

cos⁡−1(−22){\cos }^{-1}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

3π4\frac{3\pi }{4}

원본 교재 풀이(영어)

3π4\frac{3\pi }{4}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 7.5절 · 13번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
12.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 12번우리말 번역

다음 문제에서 식의 값을 구하세요.

tan⁡−1(1){\tan }^{-1}(1)

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the expressions.

tan⁡−1(1){\tan }^{-1}(1)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 7.5절 · 73번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
13.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 식의 값을 구하세요.

tan⁡−1(−3){\tan }^{-1}\left(-\sqrt{3}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the expressions.

tan⁡−1(−3){\tan }^{-1}\left(-\sqrt{3}\right)

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

−π3-\frac{\pi }{3}

원본 교재 풀이(영어)

−π3-\frac{\pi }{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 7.5절 · 11번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
14.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 14번우리말 번역

다음 문제에서 식의 값을 구하세요.

tan⁡−1(−1){\tan }^{-1}(-1)

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the expressions.

tan⁡−1(−1){\tan }^{-1}(-1)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 9.5절 · 17번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
15.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 15번우리말 번역

다음 연습문제에서 식의 값을 구하세요.

tan⁡−1(3){\tan }^{-1}\left(\sqrt{3}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the expressions.

tan⁡−1(3){\tan }^{-1}\left(\sqrt{3}\right)

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

π3\frac{\pi }{3}

원본 교재 풀이(영어)

π3\frac{\pi }{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 7.5절 · 17번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
16.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 16번우리말 번역

다음 연습문제에서 식의 값을 구하세요.

tan⁡−1(−13){\tan }^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the expressions.

tan⁡−1(−13){\tan }^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 7.5절 · 33번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
17.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 17번우리말 번역

다음 연습문제에서 계산기를 사용하여 각 식의 값을 구하세요. 답은 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

cos⁡−1(−0.4){\cos }^{-1}(-0.4)

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to evaluate each expression. Express answers to the nearest hundredth.

cos⁡−1(−0.4){\cos }^{-1}(-0.4)

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

1.98

원본 교재 풀이(영어)

1.98

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 7.5절 · 15번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
18.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 18번우리말 번역

다음 연습문제에서 계산기를 사용하여 각 식의 값을 구하세요. 답은 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

arcsin⁡(0.23)\arcsin (0.23)

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to evaluate each expression. Express answers to the nearest hundredth.

arcsin⁡(0.23)\arcsin (0.23)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 5번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
19.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 19번우리말 번역

다음 연습문제에서 계산기를 사용하여 각 식의 값을 구하세요. 답은 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

arccos⁡(35)\arccos \left(\frac{3}{5}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to evaluate each expression. Express answers to the nearest hundredth.

arccos⁡(35)\arccos \left(\frac{3}{5}\right)

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

0.93

원본 교재 풀이(영어)

0.93

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 7.5절 · 23번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류
20.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 20번우리말 번역

다음 연습문제에서 계산기를 사용하여 각 식의 값을 구하세요. 답은 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

cos⁡−1(0.8){\cos }^{-1}(0.8)

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to evaluate each expression. Express answers to the nearest hundredth.

cos⁡−1(0.8){\cos }^{-1}(0.8)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 7장 복습 · 45번
# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류