다항식의 연산

${x}^{6}+6{x}^{5}+15{x}^{4}+20{x}^{3}+15{x}^{2}$ $+6x+1$

패턴의 a 와 b 를 찾는다.

이 패턴에서 $a=3x$ 이고 $b=-2.$

$$\begin{array}{c}{(a+b)}^{n}={a}^{n}+\_\_\_{a}^{n-1}{b}^{1}+\_\_\_{a}^{n-2}{b}^{2}+...+\_\_\_{a}^{1}{b}^{n-1}+{b}^{n} \\ {(3x-2)}^{4}=1\cdot {(3x)}^{4}+4{(3x)}^{3}{(-2)}^{1}+6{(3x)}^{2}{(-2)}^{2}+4{(3x)}^{1}{(-2)}^{3}+1\cdot {(-2)}^{4} \\ {(3x-2)}^{4}=81{x}^{4}+4(27{x}^{3})(-2)+6(9{x}^{2})(4)+4(3x)(-8)+1\cdot 16 \\ {(3x-2)}^{4}=81{x}^{4}-216{x}^{3}+216{x}^{2}-96x+16\end{array}$$

$16{x}^{4}-96{x}^{3}+216{x}^{2}-216x+81$

$64{x}^{6}-192{x}^{5}+240{x}^{4}-160{x}^{3}$ $+60{x}^{2}-12x+1$

ⓐ 이항계수의 정의 $\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 을 이용한다.

	$\quad \left(\begin{array}{c}5 \\ 1\end{array}\right)$
정의 $\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 에 $n=5,r=1$ 을 대입한다.	$\quad \frac{5!}{1!(5-1)!}$
간단히 한다.	$\quad \frac{5!}{1!(4)!}$
$5!\,\text{를}\,5\cdot 4!$ 로 고쳐 쓴다.	$\quad \frac{5\cdot 4!}{1!\cdot 4!}$
공통인수를 약분하여 간단히 한다.	$\quad \frac{5\cdot 4!}{1\cdot 4!}$
간단히 한다.	$\quad 5$
	$\quad \left(\begin{array}{c}5 \\ 1\end{array}\right)=5$

ⓑ

	$\quad \left(\begin{array}{c}7 \\ 7\end{array}\right)$
정의 $\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 에 $n=7,r=7$ 을 대입한다.	$\quad \frac{7!}{7!(7-7)!}$
간단히 한다.	$\quad \frac{7!}{7!(0)!}$
간단히 한다. $0!=1$ 임을 기억한다.	$\quad 1$
	$\quad \left(\begin{array}{c}7 \\ 7\end{array}\right)=1$

ⓒ

	$\quad \left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right)$
정의 $\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 에 $n=4,r=0$ 을 대입한다.	$\quad \frac{4!}{0!(4-0)!}$
간단히 한다.	$\quad \frac{4!}{0!(4)!}$
간단히 한다.	$\quad 1$
	$\quad \left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right)=1$

ⓓ

	$\quad \left(\begin{array}{c}8 \\ 5\end{array}\right)$
정의 $\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 에 $n=8,r=5$ 를 대입한다.	$\quad \frac{8!}{5!(8-5)!}$
간단히 한다.	$\quad \frac{8!}{5!(3)!}$
$8!\,\text{를}\,8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!$ 로 고쳐 쓰고 공통인수를 약분한다.	$\quad \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$
간단히 한다.	$\quad 56$
	$\quad \left(\begin{array}{c}8 \\ 5\end{array}\right)=56$

ⓐ 6 ⓑ 1 ⓒ 1 ⓓ 35

ⓐ 2 ⓑ 1 ⓒ 1 ⓓ 6

식의 꼴에서 a 와 b 를 찾는다.

이 식에서 $a=p$ 이고 $b=q$ 이다.

이항정리를 이용한다.

$${(a+b)}^{n}=\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right){a}^{n}+\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\left(\begin{array}{c}n \\ 2\end{array}\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right){b}^{n}$$

$a=p,$ $b=q$ 그리고 $n=4$ 를 대입한다.

$${(p+q)}^{4}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right){p}^{4}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 1\end{array}\right){p}^{4-1}{q}^{1}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 2\end{array}\right){p}^{4-2}{q}^{2}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 3\end{array}\right){p}^{4-3}{q}^{3}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 4\end{array}\right){q}^{4}$$

지수를 간단히 한다.

$${(p+q)}^{4}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right){p}^{4}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 1\end{array}\right){p}^{3}{q}^{}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 2\end{array}\right){p}^{2}{q}^{2}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 3\end{array}\right){p}^{}{q}^{3}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 4\end{array}\right){q}^{4}$$

계수의 값을 구한다. $\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right)=n,$ $\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right)=1,$ $\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right)=1$ 임을 기억한다.

$$\begin{array}{c}{(p+q)}^{4}=1{p}^{4}+4{p}^{3}{q}^{1}+\frac{4!}{2!(2)!}{p}^{2}{q}^{2}+\frac{4!}{3!(4-3)!}{p}^{1}{q}^{3}+1{q}^{4} \\ {(p+q)}^{4}={p}^{4}+4{p}^{3}{q}^{}+6{p}^{2}{q}^{2}+4{p}^{}{q}^{3}+{q}^{4}\end{array}$$

${x}^{5}+5{x}^{4}y+10{x}^{3}{y}^{2}+10{x}^{2}{y}^{3}$ $+5x{y}^{4}+{y}^{5}$

${m}^{6}+6{m}^{5}n+15{m}^{4}{n}^{2}+20{m}^{3}{n}^{3}$ $+15{m}^{2}{n}^{4}+6m{n}^{5}+{n}^{6}$

식의 형태에서 a 와 b 를 찾는다.

이 식에서 $a=x$ 이고 $b=-2$ 이다.

이항정리를 이용한다.

$${(a+b)}^{n}=\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right){a}^{n}+\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\left(\begin{array}{c}n \\ 2\end{array}\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right){b}^{n}$$

$a=x,$ $b=-2,$ $n=5$ 를 대입한다.

$${(x-2)}^{5}=\left(\begin{array}{c}5 \\ 0\end{array}\right){x}^{5}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 1\end{array}\right){x}^{5-1}{(-2)}^{1}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 2\end{array}\right){x}^{5-2}{(-2)}^{2}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 3\end{array}\right){x}^{5-3}{(-2)}^{3}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 4\end{array}\right){x}^{5-4}{(-2)}^{4}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 5\end{array}\right){(-2)}^{5}$$

지수를 간단히 하고 계수의 값을 구한다. $\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right)=n,$ $\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right)=1,$ $\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right)=1$ 임을 기억하자.

$$\begin{array}{c} \\ \\ {(x-2)}^{5}=\left(\begin{array}{c}5 \\ 0\end{array}\right){x}^{5}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 1\end{array}\right){x}^{4}{(-2)}^{}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 2\end{array}\right){x}^{3}{(-2)}^{2}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 3\end{array}\right){x}^{2}{(-2)}^{3}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 4\end{array}\right)x{(-2)}^{4}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 5\end{array}\right){(-2)}^{5} \\ {(x-2)}^{5}=1{x}^{5}+5(-2){x}^{4}+\frac{5!}{2!\cdot 3!}{(-2)}^{2}{x}^{3}+\frac{5!}{3!\cdot 2!}{(-2)}^{3}{x}^{2}+\frac{5!}{4!\cdot 1!}{(-2)}^{4}x+1{(-2)}^{5} \\ {(x-2)}^{5}={x}^{5}+5(-2){x}^{4}+10\cdot 4\cdot {x}^{3}+10(-8){x}^{2}+5\cdot 16\cdot x+1(-32) \\ {(x-2)}^{5}={x}^{5}-10{x}^{4}+40{x}^{3}-80{x}^{2}+80x-32\end{array}$$

${x}^{5}-15{x}^{4}+90{x}^{3}-270{x}^{2}$ $+405x-243$

${y}^{6}-6{y}^{5}+15{y}^{4}-20{y}^{3}+15{y}^{2}$ $-6y+1$

패턴의 a 와 b 를 찾는다.

이 식에서 $a=2x$ 이고 $b=-3y$ 이다.

이항정리를 이용한다.

$${(a+b)}^{n}=\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right){a}^{n}+\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\left(\begin{array}{c}n \\ 2\end{array}\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right){b}^{n}$$

$a=2x,$ $b=-3y$ 그리고 $n=4$ 의 값을 대입한다.

$${(2x-3y)}^{4}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right){(2x)}^{4}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 1\end{array}\right){(2x)}^{4-1}{(-3y)}^{1}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 2\end{array}\right){(2x)}^{4-2}{(-3y)}^{2}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 3\end{array}\right){(2x)}^{4-3}{(-3y)}^{3}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 4\end{array}\right){(-3y)}^{4}$$

지수를 간단히 한다.

$${(2x-3y)}^{4}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right){(2x)}^{4}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 1\end{array}\right){(2x)}^{3}{(-3y)}^{1}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 2\end{array}\right){(2x)}^{2}{(-3y)}^{2}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 3\end{array}\right){(2x)}^{1}{(-3y)}^{3}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 4\end{array}\right){(-3y)}^{4}$$

계수의 값을 구한다. $\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right)=n,\,\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right)=1,\,\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right)=1$ 임을 기억한다.

${(2x-3y)}^{4}=1{(2x)}^{4}+4{(2x)}^{3}{(-3y)}^{1}+\frac{4!}{2!(2)!}{(2x)}^{2}{(-3y)}^{2}+\frac{4!}{3!(4-3)!}{(2x)}^{1}{(-3y)}^{3}+1{(-3y)}^{4}$

${(2x-3y)}^{4}=16{x}^{4}+4\cdot 8{x}^{3}(-3y)+6(4{x}^{2})(9{y}^{2})+4(2x)(-27{y}^{3})+81{y}^{4}$

${(2x-3y)}^{4}=16{x}^{4}-96{x}^{3}y+216{x}^{2}{y}^{2}-216x{y}^{3}+81{y}^{4}$