다항식 전체 연습문제 (공통수학1)

1.OpenStax Intermediate Algebra · 5.4절 · 36번우리말 풀이

조립제법을 이용하여 다항식 $3x^4-11x^3+2x^2+10x+6$ 을 $x-3$ 으로 나눈 몫과 나머지를 구하세요.

영어 원문 보기

Divide Polynomials using Synthetic Division

In the following exercises, use synthetic Division to find the quotient and remainder.

$3{x}^{4}-11{x}^{3}+2{x}^{2}+10x+6$ is divided by $x-3$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x-3$ 으로 나눌 때는 $3$ 을 놓고, 계수를 내려쓴 뒤 $3$ 을 곱해 다음 계수에 더하는 일을 반복해요.

1
계수를 적어요. $3,\ -11,\ 2,\ 10,\ 6$ 이고 나누는 수는 $3$ 이에요.
2
차례대로 계산해요. $3$ 을 내려쓰고, $3\times3=9$ 를 $-11$ 에 더해 $-2$ , $-2\times3=-6$ 을 $2$ 에 더해 $-4$ , $-4\times 3=-12$ 를 $10$ 에 더해 $-2$ , $-2\times3=-6$ 을 $6$ 에 더해 $0$ 이에요.
3
몫과 나머지를 읽어요. 마지막 $0$ 이 나머지이고, 앞의 $3,-2,-4,-2$ 가 몫의 계수예요. 차수가 하나 낮아지니까 몫은 $3x^3-2x^2-4x-2$ 예요.
4
확인해요. 나머지가 $0$ 이라 $x=3$ 을 처음 식에 넣어도 $243-297+18+30+6=0$ 이에요.

답

몫 $3x^3-2x^2-4x-2$ , 나머지 $0$

자주 하는 실수

조립제법에서 곱하는 수를 $-3$ 으로 쓰기 쉬워요. $x-a$ 로 나눌 때는 $a$ 를 그대로 써요.

원본 교재 풀이(영어)

$3{x}^{3}-2{x}^{2}-4x-2;\,0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 5.5절 · 23번

# 나머지정리와 인수정리계산보통

2.OpenStax Intermediate Algebra · 6.4절 · 25번우리말 풀이

다음 식을 완전히 인수분해하세요.

$4u^5+4u^2v^3$

영어 원문 보기

Recognize and Use the Appropriate Method to Factor a Polynomial Completely

In the following exercises, factor completely.

$4{u}^{5}+4{u}^{2}{v}^{3}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

공통인수를 먼저 묶고, 남은 식이 세제곱의 합 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ 꼴인지 확인해요.

1
공통인수를 묶어요. 두 항 모두 $4u^2$ 를 가지고 있으니 $4u^2(u^3+v^3)$ 이에요.
2
세제곱의 합으로 보아요. $u^3+v^3$ 은 $a=u,\ b=v$ 인 $a^3+b^3$ 이에요.
3
공식을 적용해요. $u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)$ 이에요.
4
합쳐서 써요. $4u^2(u+v)(u^2-uv+v^2)$ 이에요. 마지막 인수는 더 나눠지지 않아요.

답

$4u^2(u+v)(u^2-uv+v^2)$

자주 하는 실수

$a^3+b^3$ 의 둘째 인수를 $a^2+ab+b^2$ 로 쓰는 실수가 많아요. 합이면 가운데가 $-ab$ 예요.

원본 교재 풀이(영어)

$4{u}^{2}(u+v)({u}^{2}-uv+{v}^{2})$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 6.1절 · 5번

# 인수분해계산도전

3.OpenStax Algebra and Trigonometry · 1.5절 · 21번우리말 풀이

다항식 $12t^{2}+t-13$ 을 인수분해하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, factor the polynomial.

$12{t}^{2}+t-13$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$at^2+bt+c$ 에서 곱이 $ac$ , 합이 $b$ 인 두 수를 찾아 가운데 항을 쪼갠 뒤 묶어요.

1
곱과 합을 확인해요. $a\cdot c=12\cdot(-13)=-156$ 이고 합은 $b=1$ 이에요. 곱이 $-156$ , 합이 $1$ 인 두 수는 $13$ 과 $-12$ 예요.
2
가운데 항을 쪼개요. $12t^{2}+t-13=12t^{2}+13t-12t-13$
3
둘씩 묶어 공통인수를 빼요. $t(12t+13)-1\cdot(12t+13)$ 이에요.
4
공통인 괄호로 묶어요. $(12t+13)(t-1)$ . 전개하면 $12t^2-12t+13t-13=12t^2+t-13$ 이라 맞아요.

답

$(12t+13)(t-1)$

자주 하는 실수

곱이 $-156$ 인 두 수를 $12$ 와 $-13$ 으로 잘못 고르면(합이 $1$ 이 아니라 $-1$ ) $(12t-13)(t+1)$ 이 되어 가운데 항이 $-t$ 로 부호가 반대로 나와요. 꼭 전개해서 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

$(12t+13)(t-1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 6.4절 · 25번

# 인수분해계산보통

4.OpenStax Precalculus · 3.5절 · 69번우리말 풀이

상자의 부피가 $10x^{3}+27x^{2}+2x-24$ , 길이가 $5x-4$ , 너비가 $2x+3$ 일 때, 높이를 $x$ 에 대한 식으로 나타내세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the given volume of a box and its length and width to express the height of the box algebraically.

Volume is $10{x}^{3}+27{x}^{2}+2x-24,$ length is $5x-4,$ width is $2x+3.$

답 쓰고 채점

풀이 보기

(부피) $=$ (길이) $\times$ (너비) $\times$ (높이)이므로 높이는 부피를 (길이)(너비)로 나눈 몫이에요.

1
나누는 식을 먼저 만들어요. 길이와 너비의 곱은 $(5x-4)(2x+3)=10x^{2}+15x-8x-12=10x^{2}+7x-12$ 예요.
2
긴 나눗셈을 시작해요. $10x^{3}\div 10x^{2}=x$ 이므로 몫의 첫 항은 $x$ 예요. $x(10x^2+7x-12)=10x^3+7x^2-12x$ 를 빼면 $20x^2+14x-24$ 가 남아요.
3
다음 항을 구해요. $20x^{2}\div 10x^{2}=2$ 이고 $2(10x^2+7x-12)=20x^2+14x-24$ 예요. 이것을 빼면 나머지가 $0$ 이에요.
4
높이를 쓰고 검산해요. 높이는 $x+2$ 예요. $(10x^2+7x-12)(x+2)=10x^3+20x^2+7x^2+14x-12x-24=10x^3+27x^2+2x-24$ 로 부피와 같아요.

답

높이 $=x+2$

자주 하는 실수

두 번 나누는 대신 $10x^3$ 을 $5x$ 로만 나누는 식으로 한 번만 나눠 버리는 실수가 있어요. 길이와 너비를 모두 나눠야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$x+2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 5.4절 · 36번

# 나머지정리와 인수정리활용도전

5.OpenStax Elementary Algebra · 6.6절 · 1번우리말 번역

더하세요: $\frac{3}{d}+\frac{x}{d}.$

영어 원문 보기

Add: $\frac{3}{d}+\frac{x}{d}.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{3+x}{d}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{3+x}{d}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 5.4절 · 17번


	$\frac{7{y}^{2}+21}{7}$
분자의 각 항을 분모로 나눈다.	$\frac{7{y}^{2}}{7}+\frac{21}{7}$
각 분수를 간단히 한다.	${y}^{2}+3$


	$\frac{7{y}^{2}+21}{7}$
Divide each term of the numerator by the denominator.	$\frac{7{y}^{2}}{7}+\frac{21}{7}$
Simplify each fraction.	${y}^{2}+3$


	$(18{x}^{3}-36{x}^{2})\div 6x$
분수로 바꾸어 쓴다.	$\frac{18{x}^{3}-36{x}^{2}}{6x}$
분자의 각 항을 분모로 나눈다.	$\frac{18{x}^{3}}{6x}-\frac{36{x}^{2}}{6x}$
간단히 한다.	$3{x}^{2}-6x$


	$(18{x}^{3}-36{x}^{2})\div 6x$
Rewrite as a fraction.	$\frac{18{x}^{3}-36{x}^{2}}{6x}$
Divide each term of the numerator by the denominator.	$\frac{18{x}^{3}}{6x}-\frac{36{x}^{2}}{6x}$
Simplify.	$3{x}^{2}-6x$


	$\frac{12{d}^{2}-16d}{-4}$
분자의 각 항을 분모로 나눈다.	$\frac{12{d}^{2}}{-4}-\frac{16d}{-4}$
간단히 한다. 음수를 빼는 것은 양수를 더하는 것과 같음을 기억하자!	$-3{d}^{2}+4d$


	$\frac{105{y}^{5}+75{y}^{3}}{5{y}^{2}}$
항을 나눈다.	$\frac{105{y}^{5}}{5{y}^{2}}+\frac{75{y}^{3}}{5{y}^{2}}$
간단히 한다.	$21{y}^{3}+15y$


	$\frac{105{y}^{5}+75{y}^{3}}{5{y}^{2}}$
Separate the terms.	$\frac{105{y}^{5}}{5{y}^{2}}+\frac{75{y}^{3}}{5{y}^{2}}$
Simplify.	$21{y}^{3}+15y$


	$(15{x}^{3}y-35x{y}^{2})\div (-5xy)$
분수로 고쳐 쓴다.	$\frac{15{x}^{3}y-35x{y}^{2}}{-5xy}$
항을 나눈다.	$\frac{15{x}^{3}y}{-5xy}-\frac{35x{y}^{2}}{-5xy}$
간단히 한다.	$-3{x}^{2}+7y$

다항식 전체 문제