문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 적분

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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 5.2절 · 72번우리말 풀이

$f$ 와 $g$ 가 연속함수이고, $[a,b]$ 의 모든 부분 구간 $[c,d]$ 에 대해 $\int_{c}^{d}f(t)dt\le\int_{c}^{d}g(t)dt$ 가 성립한다고 해요. 이때 모든 $x$ 에 대해 $f(x)\le g(x)$ 인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose f and g are continuous functions such that ${\int }_{c}^{d}f(t)dt\le {\int }_{c}^{d}g(t)dt$ for every subinterval $[c,d]$ of $[a,b].$ Explain why $f(x)\le g(x)$ for all values of x.

풀이 보기

어떤 점에서 $f>g$ 라고 가정하면, 연속이므로 그 근처 구간 전체에서 $f>g$ 이고 적분도 $f$ 쪽이 커져서 가정과 모순이에요.

1
귀류법을 써요. 어떤 $t_0\in[a,b]$ 에서 $f(t_0)>g(t_0)$ 라고 가정해요.
2
$h=f-g$ 라 하면 $h$ 는 연속이고 $h(t_0)>0$ 이에요. 연속함수는 한 점에서 양수이면 그 점 가까이에서도 양수이므로, $t_0$ 를 포함하는 구간 $[c,d]$ ( $c<d$ )가 있어서 그 위에서 $h(t)>\frac{h(t_0)}{2}>0$ 이에요.
3
그러면 $\int_c^d\big(f(t)-g(t)\big)dt\ge\frac{h(t_0)}{2}(d-c)>0$ 이에요. 즉 $\int_c^df(t)dt>\int_c^dg(t)dt$ 예요.
4
이는 조건 $\int_c^df\le\int_c^dg$ 와 모순이에요. 그러므로 가정이 틀렸고, 모든 $x$ 에서 $f(x)\le g(x)$ 예요.

답

모든 $x\in[a,b]$ 에서 $f(x)\le g(x)$ (귀류법으로 증명)

자주 하는 실수

한 점에서만 $f>g$ 이면 적분에는 영향이 없다고 생각해요. 연속이면 그 점 주변 구간까지 $f>g$ 가 되어 적분이 달라져요.

원본 교재 풀이(영어)

If $f({t}_{0})>g({t}_{0})$ for some ${t}_{0}\in [a,b],$ then since $f-g$ is continuous, there is an interval containing t₀ such that $f(t)>g(t)$ over the interval $[c,d],$ and then ${\int }_{d}^{d}f(t)dt>{\int }_{c}^{d}g(t)dt$ over this interval.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 42번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술도전

2.OpenStax 1권 · 6.1절 · 57번우리말 풀이

단위원의 둘레와, 세 직선 $y=2x+1$ , $y=1-2x$ , $y=-\frac35$ 로 만들어진 삼각형 사이의 넓이를 구하세요(다음 그림 참고). 미적분을 쓰지 않고 푸는 방법이 있을까요?

원점이 중심이고 반지름이 1인 원의 그래프예요. 세 직선이 원과 만나는 세 점이 원 안에 삼각형을 이루어요.

영어 원문 보기

Find the area between the perimeter of the unit circle and the triangle created from $y=2x+1,y=1-2x$ and $y=-\frac{3}{5},$ as seen in the following figure. Is there a way to solve this without using calculus?

This figure is the graph of a circle centered at the origin with radius of 1. There are three lines intersecting the circle. The lines intersect the circle at three points to form a triangle within the circle.

답 쓰고 채점

풀이 보기

삼각형의 세 꼭짓점이 모두 원 위에 있으니, 구하는 넓이는 (원의 넓이 $-$ 삼각형의 넓이)예요.

1
그림을 보면 세 직선이 서로 만나는 세 점이 모두 단위원 위에 있고, 삼각형이 원 안에 들어 있어요. 구하려는 부분은 원 안에서 삼각형 바깥쪽이에요.
2
꼭짓점을 구해요. $y=2x+1$ 과 $y=1-2x$ 는 $x=0$ 에서 만나 $(0,1)$ 이에요. $y=2x+1$ 과 $y=-\frac35$ 는 $2x+1=-\frac35$ 에서 $x=-\frac45$ 이므로 $\left(-\frac45,-\frac35\right)$ , 대칭으로 $\left(\frac45,-\frac35\right)$ 도 꼭짓점이에요. 세 점 모두 $x^2+y^2=1$ 을 만족해요. (예: $\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$ )
3
삼각형의 밑변은 $y=-\frac35$ 위에서 길이 $\frac45-\left(-\frac45\right)=\frac85$ 이고, 높이는 $1-\left(-\frac35\right)=\frac85$ 예요. 그래서 넓이는 $\frac12\cdot\frac85\cdot\frac85=\frac{32}{25}$ 예요.
4
단위원의 넓이는 $\pi$ 이므로 구하는 넓이는 $\pi-\frac{32}{25}$ 예요.
5
이것이 미적분 없이 푸는 방법이에요. 적분으로 풀면 원의 위쪽·아래쪽 호와 직선 사이를 나누어 계산해야 해서 훨씬 번거로워요.

답

$\pi-\frac{32}{25}$

자주 하는 실수

세 직선과 원 사이를 일일이 적분하려다 길을 잃기 쉬워요. 도형의 넓이 공식으로 풀 수 있는지 먼저 살펴봐요.

원본 교재 풀이(영어)

$\pi -\frac{32}{25}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 5번

# 두 곡선 사이의 넓이계산도전