적분 전체 문제

$\sqrt{x}=x^{1/2}$이므로 $\left(\sqrt{x}\right)^3=x^{3/2}$로 바꿔 써요.

공식 $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ($n\ne-1$)에 $n=\frac32$를 넣어요. $n+1=\frac52$이므로 $$F(x)=\frac{x^{5/2}}{5/2}+C=\frac25x^{5/2}+C$$

$x^{5/2}=\left(\sqrt{x}\right)^5$이므로 $F(x)=\frac25\left(\sqrt{x}\right)^5+C$라고 써도 같아요.

$f(x)=(x+1)^{-2}$로 써요. $x+1$을 한 덩어리로 보면 $\int(x+1)^{-2}dx=\frac{(x+1)^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x+1}+C$예요. 미분해 보면 $\left(-\frac{1}{x+1}\right)'=\frac{1}{(x+1)^2}$로 맞아요.

이제 $F(0)=0$을 써요. $F(0)=-\frac{1}{0+1}+C=-1+C=0$이므로 $C=1$이에요.

따라서 $F(x)=-\frac{1}{x+1}+1$이에요.

피적분함수를 $g(t)=\frac{t}{1+\cos t}$라 해요. 분모가 $0$이 되지 않는지 먼저 봐요. $|t|\le\sqrt\pi<\pi$이므로 $\cos t>-1$이고, $1+\cos t>0$이라 $g$는 구간 전체에서 연속이에요.

홀함수인지 확인해요. $g(-t)=\frac{-t}{1+\cos(-t)}=\frac{-t}{1+\cos t}=-g(t)$이므로 홀함수예요.

주어진 항등식으로 나누면 $\int_{-\sqrt\pi}^{\sqrt\pi}g\,dt=\int_{-\sqrt\pi}^{0}g\,dt+\int_{0}^{\sqrt\pi}g\,dt$예요. 앞의 적분에서 $t=-u$로 바꾸면 $\int_{-\sqrt\pi}^{0}g(t)dt=\int_0^{\sqrt\pi}g(-u)du=-\int_0^{\sqrt\pi}g(u)du$예요. 그래서 두 적분이 서로 부호만 다르게 상쇄되어 합은 $0$이에요.

주어진 값은 $x$, $x^2$, $x^3$ 의 적분뿐이에요. 그러니 $(1-2x)^3$ 을 전개해 $x$ 의 거듭제곱 합으로 바꿔요. $$(1-2x)^3=1-6x+12x^2-8x^3$$

정적분은 합과 상수배를 밖으로 뺄 수 있어요. $$\int_0^1(1-6x+12x^2-8x^3)\,dx=\int_0^1 1\,dx-6\int_0^1x\,dx+12\int_0^1x^2\,dx-8\int_0^1x^3\,dx$$

$\int_0^1 1\,dx=1$ 이고 나머지는 주어진 값을 넣어요. $$1-6\cdot\frac12+12\cdot\frac13-8\cdot\frac14=1-3+4-2=0$$

검산해 봐요. 부정적분 $x-3x^2+4x^3-2x^4$ 에 $x=1$ 을 넣으면 $1-3+4-2=0$ 으로 같아요.

귀류법을 써요. 어떤 $t_0\in[a,b]$에서 $f(t_0)>g(t_0)$라고 가정해요.

$h=f-g$라 하면 $h$는 연속이고 $h(t_0)>0$이에요. 연속함수는 한 점에서 양수이면 그 점 가까이에서도 양수이므로, $t_0$를 포함하는 구간 $[c,d]$ ($c<d$)가 있어서 그 위에서 $h(t)>\frac{h(t_0)}{2}>0$이에요.

그러면 $\int_c^d\big(f(t)-g(t)\big)dt\ge\frac{h(t_0)}{2}(d-c)>0$이에요. 즉 $\int_c^df(t)dt>\int_c^dg(t)dt$예요.

이는 조건 $\int_c^df\le\int_c^dg$와 모순이에요. 그러므로 가정이 틀렸고, 모든 $x$에서 $f(x)\le g(x)$예요.

$G(u)=\int_1^u\frac{\sqrt t}{1+t}dt$라 하면, 기본정리 1부에서 $G'(u)=\frac{\sqrt u}{1+u}$예요. 구하는 식은 $G(x^2)$을 $x$로 미분한 것이에요.

연쇄법칙을 써요. $\frac{d}{dx}G(x^2)=G'(x^2)\cdot(x^2)'=\frac{\sqrt{x^2}}{1+x^2}\cdot2x$예요.

$\sqrt{x^2}=|x|$임에 주의해요. 그래서 결과는 $\frac{2x|x|}{1+x^2}$예요.

겉넓이를 모서리 길이 $x$ 의 함수로 써요. 정육면체는 정사각형 6개로 이루어져 있으니 $S(x)=6x^2$ 이에요.

변화율을 구해요. 길이가 조금 늘어날 때 겉넓이가 늘어나는 비율은 도함수 $S'(x)=12x$ 예요.

순변화량 = 변화율의 정적분이에요. $$\int_s^{2s}12x\,dx=\Big[6x^2\Big]_s^{2s}=6(2s)^2-6s^2=24s^2-6s^2=18s^2$$

확인해요. 처음 겉넓이는 $6s^2$, 나중 겉넓이는 $6(2s)^2=24s^2$ 이므로 차이는 $18s^2$ 로 같아요.

넓이와 반지름의 관계를 써요. 원의 넓이 $A=\pi r^2$ 이므로 $r=\sqrt{A/\pi}$ 예요.

처음과 나중의 반지름을 구해요. $t=2$ 에서 $A=4\pi$ 이므로 $r=2$, $t=3$ 에서 $A=9\pi$ 이므로 $r=3$ 이에요.

순변화량을 계산해요. 변화율 $r'(t)$ 를 적분한 값이 순변화량이고, 이는 끝값 − 처음값과 같아요. $$\int_2^3 r'(t)\,dt=r(3)-r(2)=3-2=1$$

참고: 일정하게 커진다는 조건을 써 보면. 넓이가 일정한 비율로 커지므로 $A(t)=4\pi+5\pi(t-2)$ 이고 $r(t)=\sqrt{5t-6}$ 이에요. $r'(t)=\dfrac{5}{2\sqrt{5t-6}}$ 를 $2$ 에서 $3$ 까지 적분해도 $\big[\sqrt{5t-6}\big]_2^3=3-2=1$ 로 같아요.

속도의 식을 세워요. 처음 속도 $v_0$, 감속도 $a$ 이면 $v(t)=v_0-at$ 예요(속도가 일정하게 줄어요).

멈추는 시각을 구해요. $v(T)=0$ 에서 $T=\dfrac{v_0}{a}$ 예요.

거리는 속도의 정적분이에요. 속도가 음수가 되기 전(멈출 때까지)이라 순변화량과 실제 거리가 같아요. $$D=\int_0^{T}(v_0-at)\,dt=\left[v_0t-\frac{a}{2}t^2\right]_0^{v_0/a}=\frac{v_0^2}{a}-\frac{v_0^2}{2a}=\frac{v_0^2}{2a}$$

마른 콘크리트($a=7$)에 넣어요. $v_0=30$ 이면 $D=\dfrac{900}{14}\approx64.3$, $v_0=25$ 이면 $D=\dfrac{625}{14}\approx44.6$ 이에요.

젖은 아스팔트($a=2.5$)에 넣어요. $v_0=30$ 이면 $D=\dfrac{900}{5}=180$, $v_0=25$ 이면 $D=\dfrac{625}{5}=125$ 예요.

왜 이렇게 할까요? 분수와 근호가 섞인 식은 공식을 쓰기 어려워요. 지수 꼴로 바꾸면 $x^n$ 의 적분 공식이 보여요. $$\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$$

공식을 써요. $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\ne-1)$ 에 $n=-\frac12$ 을 넣으면 $$\int x^{-1/2}dx=\frac{x^{1/2}}{\frac12}+C=2\sqrt{x}+C$$

미분해서 확인해요. $\frac{d}{dx}\left(2\sqrt{x}\right)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 로 처음 식이 나와요.

곡선이 $x=y^2$ 처럼 $x$ 를 $y$ 로 나타낸 꼴이라 $y$ 에 대해 적분하는 것이 편해요. 그림에서 영역은 왼쪽이 포물선 $x=y^2$, 오른쪽이 직선 $x=9$ 예요.

적분 구간은 두 곡선이 만나는 곳이에요. $y^2=9$ 에서 $y=-3$, $y=3$ 이에요.

가로 길이(오른쪽 $-$ 왼쪽)는 $9-y^2$ 이므로 $$A=\int_{-3}^{3}(9-y^2)\,dy$$ 예요.

계산해요. 피적분함수가 짝함수라 $2\int_0^3(9-y^2)\,dy$ 로 바꿀 수 있어요. $$2\left[9y-\frac{y^3}{3}\right]_0^3=2(27-9)=36$$

그림에서 직선 모양의 $y=|x|$가 위에, 포물선 $y=x^2$이 아래에 있고 둘로 둘러싸인 부분이 색칠된 영역이에요. 교점은 $|x|=x^2$에서 $x=-1,\,0,\,1$이에요.

두 그래프는 $y$축에 대해 대칭이므로 $0\le x\le1$ 부분의 넓이를 구해 두 배 해요. 이 구간에서 $|x|=x$이므로 (위)−(아래)는 $x-x^2$이에요.

$$\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16$$

두 배 하면 $2\cdot\frac16=\frac13$이에요.

교점을 구해요. $y^2-2=2y$ 에서 $y^2-2y-2=0$ 이므로 $y=1\pm\sqrt3$ 이에요. 이때 $x=2y$ 이니까 교점의 $x$좌표는 $2\pm2\sqrt3$ 이에요.

$y$에 대해 적분해요. 두 식이 모두 $x=\cdots$ 꼴이라 $y$를 변수로 보면 한 번에 계산돼요. $y=0$ 에서 직선은 $x=0$, 포물선은 $x=-2$ 이므로 직선이 오른쪽이에요. $$A=\int_{1-\sqrt3}^{1+\sqrt3}\left(2y-(y^2-2)\right)dy=\int_{1-\sqrt3}^{1+\sqrt3}(-y^2+2y+2)\,dy$$

계산을 쉽게 하려고 $t=y-1$ 로 바꿔요. $-y^2+2y+2=3-(y-1)^2=3-t^2$ 이고 구간은 $-\sqrt3\le t\le\sqrt3$ 이에요. $$A=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}(3-t^2)\,dt=2\left[3t-\frac{t^3}{3}\right]_0^{\sqrt3}=2\left(3\sqrt3-\sqrt3\right)=4\sqrt3$$

$x$에 대해 적분하면 어떨까요? 포물선은 $y=\pm\sqrt{x+2}$ 로 위·아래 두 줄기라서 구간을 둘로 나눠야 해요. $x_1=2-2\sqrt3$, $x_2=2+2\sqrt3$ 라 하면 $$A=\int_{-2}^{x_1}2\sqrt{x+2}\,dx+\int_{x_1}^{x_2}\left(\sqrt{x+2}-\frac{x}{2}\right)dx$$

$u=x+2$ 로 계산해요. $u_1=4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2$, $u_2=4+2\sqrt3=(\sqrt3+1)^2$ 이므로 $u_1^{3/2}=6\sqrt3-10$, $u_2^{3/2}=6\sqrt3+10$ 이에요. 그러면 $$A=\frac43(6\sqrt3-10)+\frac23\big[(6\sqrt3+10)-(6\sqrt3-10)\big]-\frac{x_2^2-x_1^2}{4}$$ 여기서 $\dfrac{x_2^2-x_1^2}{4}=\dfrac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{4}=\dfrac{4\sqrt3\cdot4}{4}=4\sqrt3$ 이므로 $$A=\left(8\sqrt3-\frac{40}{3}\right)+\frac{40}{3}-4\sqrt3=4\sqrt3$$ $y$로 적분한 값과 같고, $y$로 적분하는 쪽이 훨씬 쉬워요.

그림을 보면 세 직선이 서로 만나는 세 점이 모두 단위원 위에 있고, 삼각형이 원 안에 들어 있어요. 구하려는 부분은 원 안에서 삼각형 바깥쪽이에요.

꼭짓점을 구해요. $y=2x+1$ 과 $y=1-2x$ 는 $x=0$ 에서 만나 $(0,1)$ 이에요. $y=2x+1$ 과 $y=-\frac35$ 는 $2x+1=-\frac35$ 에서 $x=-\frac45$ 이므로 $\left(-\frac45,-\frac35\right)$, 대칭으로 $\left(\frac45,-\frac35\right)$ 도 꼭짓점이에요. 세 점 모두 $x^2+y^2=1$ 을 만족해요. (예: $\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$)

삼각형의 밑변은 $y=-\frac35$ 위에서 길이 $\frac45-\left(-\frac45\right)=\frac85$ 이고, 높이는 $1-\left(-\frac35\right)=\frac85$ 예요. 그래서 넓이는 $$\frac12\cdot\frac85\cdot\frac85=\frac{32}{25}$$ 예요.

단위원의 넓이는 $\pi$ 이므로 구하는 넓이는 $$\pi-\frac{32}{25}$$ 예요.

이것이 미적분 없이 푸는 방법이에요. 적분으로 풀면 원의 위쪽·아래쪽 호와 직선 사이를 나누어 계산해야 해서 훨씬 번거로워요.