문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 적분

부정적분의 뜻과 계산

미분하면 f가 되는 함수를 찾고, 부정적분 공식으로 계산한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

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3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.10절 · 13번우리말 풀이

다음 문제에서 각 함수 $f(x)$ 의 부정적분 $F(x)$ 의 일반형을 구하세요.

$f(x)=\left(\sqrt{x}\right)^{3}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the general form for the antiderivative $F(x)$ of each function $f(x).$

$f(x)={\left(\sqrt{x}\right)}^{3}$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

근호를 지수로 바꾸면 $x^n$ 꼴이 되어 부정적분 공식을 바로 쓸 수 있어요.

1
$\sqrt{x}=x^{1/2}$ 이므로 $\left(\sqrt{x}\right)^3=x^{3/2}$ 로 바꿔 써요.
2
공식 $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ( $n\ne-1$ )에 $n=\frac32$ 를 넣어요. $n+1=\frac52$ 이므로 $F(x)=\frac{x^{5/2}}{5/2}+C=\frac25x^{5/2}+C$
3
$x^{5/2}=\left(\sqrt{x}\right)^5$ 이므로 $F(x)=\frac25\left(\sqrt{x}\right)^5+C$ 라고 써도 같아요.

답

$F(x)=\frac25x^{5/2}+C$

자주 하는 실수

적분상수 $C$ 를 빼먹거나, 분모에 $\frac52$ 대신 $\frac32$ 를 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$F(x)=\frac{2}{5}{\left(\sqrt{x}\right)}^{5}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 8번

# 부정적분의 뜻과 계산계산기본

2.OpenStax 1권 · 4.10절 · 55번우리말 풀이

다음 문제에서 $F(0)=0$ 이라 할 때 함수의 부정적분을 구하세요.

[계산기 사용] $f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the antiderivative of the function, assuming $F(0)=0.$

[T] $f(x)=\frac{1}{{(x+1)}^{2}}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

일반형 $F(x)=\cdots+C$ 를 먼저 구하고, 주어진 조건 $F(0)=0$ 으로 $C$ 를 정해요.

1
$f(x)=(x+1)^{-2}$ 로 써요. $x+1$ 을 한 덩어리로 보면 $\int(x+1)^{-2}dx=\frac{(x+1)^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x+1}+C$ 예요. 미분해 보면 $\left(-\frac{1}{x+1}\right)'=\frac{1}{(x+1)^2}$ 로 맞아요.
2
이제 $F(0)=0$ 을 써요. $F(0)=-\frac{1}{0+1}+C=-1+C=0$ 이므로 $C=1$ 이에요.
3
따라서 $F(x)=-\frac{1}{x+1}+1$ 이에요.

답

$F(x)=-\frac{1}{x+1}+1$

자주 하는 실수

$\int (x+1)^{-2}dx$ 에서 부호를 놓쳐 $+\frac{1}{x+1}$ 로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$F(x)=-\frac{1}{(x+1)}+1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.1절 · 2번

# 부정적분의 뜻과 계산계산보통

3.OpenStax 1권 · 5.6절 · 8번우리말 풀이

다음 문제에서 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each indefinite integral.

$\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

$\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$ 로 바꿔 쓰면 거듭제곱의 적분 공식을 바로 쓸 수 있어요.

1
왜 이렇게 할까요? 분수와 근호가 섞인 식은 공식을 쓰기 어려워요. 지수 꼴로 바꾸면 $x^n$ 의 적분 공식이 보여요. $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$
2
공식을 써요. $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\ne-1)$ 에 $n=-\frac12$ 을 넣으면 $\int x^{-1/2}dx=\frac{x^{1/2}}{\frac12}+C=2\sqrt{x}+C$
3
미분해서 확인해요. $\frac{d}{dx}\left(2\sqrt{x}\right)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 로 처음 식이 나와요.

답

$2\sqrt{x}+C$

자주 하는 실수

$\frac{1}{x}$ 의 적분처럼 $\ln$ 을 쓰려 하거나, 적분상수 $C$ 를 빼먹어요.

원본 교재 풀이(영어)

$2\sqrt{x}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.10절 · 55번

# 부정적분의 뜻과 계산계산기본