두 곡선 사이의 넓이 연습문제

1.OpenStax 1권 · 6.1절 · 57번우리말 풀이

단위원의 둘레와, 세 직선 $y=2x+1$ , $y=1-2x$ , $y=-\frac35$ 로 만들어진 삼각형 사이의 넓이를 구하세요(다음 그림 참고). 미적분을 쓰지 않고 푸는 방법이 있을까요?

원점이 중심이고 반지름이 1인 원의 그래프예요. 세 직선이 원과 만나는 세 점이 원 안에 삼각형을 이루어요.

영어 원문 보기

Find the area between the perimeter of the unit circle and the triangle created from $y=2x+1,y=1-2x$ and $y=-\frac{3}{5},$ as seen in the following figure. Is there a way to solve this without using calculus?

This figure is the graph of a circle centered at the origin with radius of 1. There are three lines intersecting the circle. The lines intersect the circle at three points to form a triangle within the circle.

답 쓰고 채점

풀이 보기

삼각형의 세 꼭짓점이 모두 원 위에 있으니, 구하는 넓이는 (원의 넓이 $-$ 삼각형의 넓이)예요.

1
그림을 보면 세 직선이 서로 만나는 세 점이 모두 단위원 위에 있고, 삼각형이 원 안에 들어 있어요. 구하려는 부분은 원 안에서 삼각형 바깥쪽이에요.
2
꼭짓점을 구해요. $y=2x+1$ 과 $y=1-2x$ 는 $x=0$ 에서 만나 $(0,1)$ 이에요. $y=2x+1$ 과 $y=-\frac35$ 는 $2x+1=-\frac35$ 에서 $x=-\frac45$ 이므로 $\left(-\frac45,-\frac35\right)$ , 대칭으로 $\left(\frac45,-\frac35\right)$ 도 꼭짓점이에요. 세 점 모두 $x^2+y^2=1$ 을 만족해요. (예: $\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$ )
3
삼각형의 밑변은 $y=-\frac35$ 위에서 길이 $\frac45-\left(-\frac45\right)=\frac85$ 이고, 높이는 $1-\left(-\frac35\right)=\frac85$ 예요. 그래서 넓이는 $\frac12\cdot\frac85\cdot\frac85=\frac{32}{25}$ 예요.
4
단위원의 넓이는 $\pi$ 이므로 구하는 넓이는 $\pi-\frac{32}{25}$ 예요.
5
이것이 미적분 없이 푸는 방법이에요. 적분으로 풀면 원의 위쪽·아래쪽 호와 직선 사이를 나누어 계산해야 해서 훨씬 번거로워요.

답

$\pi-\frac{32}{25}$

자주 하는 실수

세 직선과 원 사이를 일일이 적분하려다 길을 잃기 쉬워요. 도형의 넓이 공식으로 풀 수 있는지 먼저 살펴봐요.

원본 교재 풀이(영어)

$\pi -\frac{32}{25}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 5번

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