정적분의 뜻과 성질 연습문제

1.CLP-2 · 1.2절 · 3번우리말 번역

다음 각 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 거짓이면 반례를 제시하고, 참이면 간단히 이유를 설명하세요.

(a) $\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=-\displaystyle\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x$ . (b) $f(x)$ 가 기함수이면 $\displaystyle \int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ 이다. (c) $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\cdot g(x) ~\mathrm{d}x =\int_{0}^{1} f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int_{0}^{1} g(x) ~\mathrm{d}x$ .

영어 원문 보기

Decide whether each of the following statements is true or false. If false, provide a counterexample. If true, provide a brief justification.

(a) $\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=-\displaystyle\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x$ . (b) If $f(x)$ is an odd function, then $\displaystyle \int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ . (c) $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\cdot g(x) ~\mathrm{d}x =\int_{0}^{1} f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int_{0}^{1} g(x) ~\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

(a) 거짓이다. 예를 들어

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x<0$일 때} \\ 1 & \text{$x\ge0$일 때} \end{cases} \end{aligned}$

이면 $\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=0$ 이고 $-\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x=\int^{3}_{2} f(x) \mathrm{d}x=1$ 이다.

(b) 거짓이다. 예를 들어 $f(x)=x$ 이면 $\int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x$ 는 음수이고 $\int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ 는 양수이므로 둘은 같을 수 없다.

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x<\frac{1}{2}$일 때} \\ 1 & \text{$x\ge\frac{1}{2}$일 때} \end{cases} &&\text{그리고}&&g(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x\ge \frac{1}{2}$일 때} \\ 1 & \text{$x<\frac{1}{2}$일 때} \end{cases} \end{aligned}$

을 생각하자.

그러면 모든 $x$ 에 대해 $f(x)\cdot g(x)=0$ 이므로 $\int_0^1 f(x)\cdot g(x) \mathrm{d}x=0$ 이다. 그러나 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ 이고 $\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ 이므로 $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x \cdot \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{4}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) False. For example if

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{for $x<0$} \\ 1 & \text{for $x\ge0$} \end{cases} \end{aligned}$

then $\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=0$ and $-\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x=\int^{3}_{2} f(x) \mathrm{d}x=1$ .

(b) False. For example, if $f(x)=x$ , then $\int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x$ is negative while $\int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ is positive, so they cannot be the same.

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{for $x<\frac{1}{2}$} \\ 1 & \text{for $x\ge\frac{1}{2}$} \end{cases} &&\text{and}&&g(x) = \begin{cases} 0 & \text{for $x\ge \frac{1}{2}$} \\ 1 & \text{for $x<\frac{1}{2}$} \end{cases} \end{aligned}$

Then $f(x)\cdot g(x)=0$ for all $x$ , so $\int_0^1 f(x)\cdot g(x) \mathrm{d}x=0$ . However, $\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ and $\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ , so $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x \cdot \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{4}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 4번

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