정적분의 뜻과 성질 연습문제

1.APEX · 5.2절 · 1번우리말 번역

"부호 있는 넓이의 총합"이란 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

What is “total signed area”?

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.2절 · 3번

# 정적분의 뜻과 성질개념 확인자동 분류

2.APEX · 5.2절 · 2번우리말 번역

"변위"란 무엇입니까?

영어 원문 보기

What is “displacement”?

정답·풀이 보기

답은 학생마다 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 18번

# 정적분의 뜻과 성질개념 확인자동 분류

3.APEX · 5.2절 · 3번우리말 번역

$\displaystyle \int_3^3 \sin x\ dx$ 의 값은 얼마입니까?

영어 원문 보기

What is $\displaystyle \int_3^3 \sin x\ dx$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

0

원본 교재 풀이(영어)

0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.2절 · 2번

# 정적분의 뜻과 성질개념 확인자동 분류

4.APEX · 5.2절 · 4번우리말 번역

$\displaystyle \int_0^1(2x+3)\ dx + \int_1^2 (2x+3)\ dx$ 와 값이 같은 정적분 하나를 쓰세요.

영어 원문 보기

Give a single definite integral that has the same value as

$\displaystyle \int_0^1(2x+3)\ dx + \int_1^2 (2x+3)\ dx$ .

정답·풀이 보기

$\int 0^2 (2x+3)\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int 0^2 (2x+3)\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.2절 · 18번

# 정적분의 뜻과 성질개념 확인자동 분류

5.CLP-2 · 1.2절 · 3번우리말 번역

다음 각 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 거짓이면 반례를 제시하고, 참이면 간단히 이유를 설명하세요.

(a) $\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=-\displaystyle\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x$ . (b) $f(x)$ 가 기함수이면 $\displaystyle \int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ 이다. (c) $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\cdot g(x) ~\mathrm{d}x =\int_{0}^{1} f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int_{0}^{1} g(x) ~\mathrm{d}x$ .

영어 원문 보기

Decide whether each of the following statements is true or false. If false, provide a counterexample. If true, provide a brief justification.

(a) $\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=-\displaystyle\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x$ . (b) If $f(x)$ is an odd function, then $\displaystyle \int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ . (c) $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\cdot g(x) ~\mathrm{d}x =\int_{0}^{1} f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int_{0}^{1} g(x) ~\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

(a) 거짓이다. 예를 들어

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x<0$일 때} \\ 1 & \text{$x\ge0$일 때} \end{cases} \end{aligned}$

이면 $\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=0$ 이고 $-\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x=\int^{3}_{2} f(x) \mathrm{d}x=1$ 이다.

(b) 거짓이다. 예를 들어 $f(x)=x$ 이면 $\int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x$ 는 음수이고 $\int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ 는 양수이므로 둘은 같을 수 없다.

(c) 거짓이다. 예를 들어 함수

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x<\frac{1}{2}$일 때} \\ 1 & \text{$x\ge\frac{1}{2}$일 때} \end{cases} &&\text{그리고}&&g(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x\ge \frac{1}{2}$일 때} \\ 1 & \text{$x<\frac{1}{2}$일 때} \end{cases} \end{aligned}$

을 생각하자.

그러면 모든 $x$ 에 대해 $f(x)\cdot g(x)=0$ 이므로 $\int_0^1 f(x)\cdot g(x) \mathrm{d}x=0$ 이다. 그러나 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ 이고 $\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ 이므로 $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x \cdot \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{4}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) False. For example if

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{for $x<0$} \\ 1 & \text{for $x\ge0$} \end{cases} \end{aligned}$

then $\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=0$ and $-\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x=\int^{3}_{2} f(x) \mathrm{d}x=1$ .

(b) False. For example, if $f(x)=x$ , then $\int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x$ is negative while $\int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ is positive, so they cannot be the same.

(c) False. For example, consider the functions

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{for $x<\frac{1}{2}$} \\ 1 & \text{for $x\ge\frac{1}{2}$} \end{cases} &&\text{and}&&g(x) = \begin{cases} 0 & \text{for $x\ge \frac{1}{2}$} \\ 1 & \text{for $x<\frac{1}{2}$} \end{cases} \end{aligned}$

Then $f(x)\cdot g(x)=0$ for all $x$ , so $\int_0^1 f(x)\cdot g(x) \mathrm{d}x=0$ . However, $\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ and $\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ , so $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x \cdot \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{4}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 4번

# 정적분의 뜻과 성질개념 확인기본자동 분류