문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 극한 전체 문제

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2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.2절 · 25번우리말 풀이

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

$1+\dfrac{\pi}{e^{2}}+\dfrac{\pi^{2}}{e^{4}}+\dfrac{\pi^{3}}{e^{6}}+\dfrac{\pi^{4}}{e^{8}}+\cdots$

영어 원문 보기

State whether the given series converges and explain why.

$1+\frac{\pi }{{e}^{2}}+\frac{{\pi }^{2}}{{e}^{4}}+\frac{{\pi }^{3}}{{e}^{6}}+\frac{{\pi }^{4}}{{e}^{8}}+\cdots$

풀이 보기

이웃한 항의 비가 일정하면 등비급수이고, 공비의 절댓값이 1보다 작으면 수렴해요.

1
규칙을 찾아요. 항을 $1,\ \dfrac{\pi}{e^2},\ \left(\dfrac{\pi}{e^2}\right)^2,\ \left(\dfrac{\pi}{e^2}\right)^3,\ \ldots$ 로 쓸 수 있어요. 앞 항에 $\dfrac{\pi}{e^2}$ 를 곱하니 첫째항 $1$ , 공비 $r=\dfrac{\pi}{e^2}$ 인 등비급수예요.
2
공비의 크기를 비교해요. $\pi\approx3.14$ , $e^2\approx7.39$ 이므로 $r\approx0.43<1$ 이에요.
3
결론을 내려요. $|r|<1$ 인 등비급수는 수렴하고, 그 합은 $\dfrac{1}{1-r}=\dfrac{e^2}{e^2-\pi}\approx1.74$ 예요.

답

수렴한다. (공비 $r=\pi/e^2\approx0.43<1$ 인 등비급수)

자주 하는 실수

$\pi>e$ 라서 $\pi/e^2$ 도 1보다 크다고 착각하는 실수가 있어요(분모가 $e^2$ 임에 주의).

원본 교재 풀이(영어)

convergent geometric series, $r=\pi /{e}^{2}<1$

# 등비급수개념 확인기본

2.CLP-2 · 3.1절 · 2번우리말 번역

$a_n$ 과 $b_n$ 이 수열이고, 모든 $n \geq 100$ 에 대해 $a_n=b_n$ 이지만 $n < 100$ 에서는 $a_n \neq b_n$ 이라고 하자.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n$ 은 참인지 거짓인지 답하세요.

영어 원문 보기

Suppose $a_n$ and $b_n$ are sequences, and $a_n=b_n$ for all $n \geq 100$ , but $a_n \neq b_n$ for $n < 100$ .

True or false: $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참이다. 수열의 끝부분의 거동을 생각하면 되는데, 이는 처음 유한 개의 항에 의존하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

True. We consider the end behaviour of the sequences, which does not depend on any finite number of terms at their beginning.

# 수열의 수렴과 발산개념 확인기본자동 분류