수열의 극한 전체 연습문제

1.OpenStax 2권 · 5.1절 · 31번우리말 풀이

다음 각 수열( $n$ 번째 항이 주어져 있음)이 유계인지, 그리고 결국 단조(증가 또는 감소)인지 말하세요.

$\dfrac{n}{2^{n}},\quad n\ge2$

영어 원문 보기

For each of the following sequences, whose $n\text{th}$ terms are indicated, state whether the sequence is bounded and whether it is eventually monotone, increasing, or decreasing.

$n/{2}^{n},$ $n\ge 2$

풀이 보기

항이 모두 양수일 때는 이웃한 항의 비 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 이 1보다 작은지 큰지로 증가·감소를 판단해요.

1
처음 몇 항을 써 봐요. $a_2=\dfrac12$ , $a_3=\dfrac38$ , $a_4=\dfrac14$ , $a_5=\dfrac5{32}$ 로 점점 줄어드는 것 같아요.
2
비로 감소를 확인해요. 모든 항이 양수이므로 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n}=\frac{n+1}{2n}=\frac12+\frac1{2n}$ $n\ge2$ 이면 이 값은 $\dfrac34$ 이하여서 1보다 작아요. 따라서 $a_{n+1}<a_n$ , 즉 $n\ge2$ 에서 감소수열이에요.
3
유계를 확인해요. 모든 항이 양수라서 아래로 $0$ 보다 크고, 감소하므로 첫 항 $a_2=\dfrac12$ 보다 커질 수 없어요. 즉 $0<a_n\le\dfrac12$ 이므로 유계예요.

답

유계이고, $n\ge2$ 에서 감소

자주 하는 실수

$n=1$ 일 때와 $n=2$ 일 때 값이 같아( $\tfrac12$ ) 처음부터 감소라고 하거나, 비가 1보다 작아지는 $n$ 의 범위를 확인하지 않는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

bounded, decreasing for $n\ge 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 12번

# 수열의 수렴과 발산개념 확인보통

2.OpenStax 2권 · 5.1절 · 39번우리말 풀이

다음과 같이 정의된 수열이 극한을 갖는지 판단하고, 갖는다면 그 극한을 구하세요.

$a_1=3$ , $a_n=\sqrt{2a_{n-1}}$ ( $n=2,3,\ldots$ )

영어 원문 보기

Determine whether the sequence defined as follows has a limit. If it does, find the limit.

${a}_{1}=3,$ ${a}_{n}=\sqrt{2{a}_{n-1}},$ $n=2,3,\ldots .$

풀이 보기

감소하면서 아래로 유계인 수열은 수렴하고, 극한 $a$ 는 $a=\sqrt{2a}$ 를 만족해요.

1
몇 항을 계산해 봐요. $a_1=3$ , $a_2=\sqrt6\approx2.449$ , $a_3=\sqrt{2\cdot2.449}\approx2.213$ 로 줄어들면서 $2$ 에 가까워지는 것 같아요.
2
$a_n>2$ 임을 보여요. $a_1=3>2$ 이고, $a_{n-1}>2$ 이면 $2a_{n-1}>4$ 이므로 $a_n=\sqrt{2a_{n-1}}>2$ 예요. 따라서 모든 항이 $2$ 보다 커요(아래로 유계).
3
감소함을 보여요. $a_n<a_{n-1}$ 은 $\sqrt{2a_{n-1}}<a_{n-1}$ 과 같고, 양변을 제곱하면 $2a_{n-1}<a_{n-1}^2$ , 즉 $a_{n-1}>2$ 예요. 앞 단계에서 이것이 참이므로 수열은 감소해요.
4
수렴하므로 극한을 구해요. 감소하면서 아래로 유계인 수열은 수렴해요. 극한을 $a$ 라 하면 $a_n\to a$ , $a_{n-1}\to a$ 이므로 $a=\sqrt{2a}\;\Rightarrow\;a^2=2a\;\Rightarrow\;a(a-2)=0$ 모든 항이 $2$ 보다 크니 극한은 $0$ 일 수 없고 $a=2$ 예요.

답

수렴하고 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=2$

자주 하는 실수

$a^2=2a$ 에서 $a=0$ 도 답이라고 쓰는 실수가 있어요. 수열이 항상 $2$ 보다 크다는 사실로 $0$ 을 버려야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}$ is decreasing and bounded below by $2.$ The limit $a$ must satisfy $a=\sqrt{2a}$ so $a=2,$ independent of the initial value.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 31번

# 수열의 수렴과 발산개념 확인도전

3.OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번우리말 풀이

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1000}$ (힌트: 인덱스를 바꾸어 다시 쓰세요.)

영어 원문 보기

State whether the given series converges and explain why.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+1000}$ (Hint: Rewrite using a change of index.)

풀이 보기

처음 몇 개의 항을 없애도 급수의 수렴·발산은 변하지 않아요. 그래서 알려진 조화급수와 같아져요.

1
인덱스를 바꿔요. $m=n+1000$ 으로 두면 $n=1$ 일 때 $m=1001$ 이에요. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n+1000}=\sum_{m=1001}^{\infty}\frac1m$ 조화급수 $\sum_{m=1}^\infty\frac1m$ 에서 처음 $1000$ 개 항을 뺀 급수예요.
2
조화급수는 발산해요. 항들을 $\dfrac12$ 이상씩 묶을 수 있어요. 예를 들어 $\frac13+\frac14>\frac14+\frac14=\frac12,\quad \frac15+\cdots+\frac18>\frac48=\frac12,\ \ldots$ 이렇게 묶을 때마다 $\frac12$ 보다 큰 값이 계속 더해져서 합이 한없이 커져요.
3
결론을 내려요. 유한 개의 항을 더하거나 빼도 수렴·발산은 바뀌지 않으므로 이 급수도 발산해요. (각 항이 $0$ 으로 가는데도 발산한다는 점에 주의하세요.)

답

발산한다 ( $\displaystyle\sum_{n=1001}^{\infty}\frac1n$ 과 같음)

자주 하는 실수

일반항이 $0$ 으로 가니 수렴한다고 판단하는 실수가 많아요(그것은 수렴의 필요조건일 뿐이에요).

원본 교재 풀이(영어)

diverges, $\sum_{n=1001}^{\infty }\frac{1}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인보통

4.OpenStax 2권 · 5.2절 · 25번우리말 풀이

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

$1+\dfrac{\pi}{e^{2}}+\dfrac{\pi^{2}}{e^{4}}+\dfrac{\pi^{3}}{e^{6}}+\dfrac{\pi^{4}}{e^{8}}+\cdots$

영어 원문 보기

State whether the given series converges and explain why.

$1+\frac{\pi }{{e}^{2}}+\frac{{\pi }^{2}}{{e}^{4}}+\frac{{\pi }^{3}}{{e}^{6}}+\frac{{\pi }^{4}}{{e}^{8}}+\cdots$

풀이 보기

이웃한 항의 비가 일정하면 등비급수이고, 공비의 절댓값이 1보다 작으면 수렴해요.

1
규칙을 찾아요. 항을 $1,\ \dfrac{\pi}{e^2},\ \left(\dfrac{\pi}{e^2}\right)^2,\ \left(\dfrac{\pi}{e^2}\right)^3,\ \ldots$ 로 쓸 수 있어요. 앞 항에 $\dfrac{\pi}{e^2}$ 를 곱하니 첫째항 $1$ , 공비 $r=\dfrac{\pi}{e^2}$ 인 등비급수예요.
2
공비의 크기를 비교해요. $\pi\approx3.14$ , $e^2\approx7.39$ 이므로 $r\approx0.43<1$ 이에요.
3
결론을 내려요. $|r|<1$ 인 등비급수는 수렴하고, 그 합은 $\dfrac{1}{1-r}=\dfrac{e^2}{e^2-\pi}\approx1.74$ 예요.

답

수렴한다. (공비 $r=\pi/e^2\approx0.43<1$ 인 등비급수)

자주 하는 실수

$\pi>e$ 라서 $\pi/e^2$ 도 1보다 크다고 착각하는 실수가 있어요(분모가 $e^2$ 임에 주의).

원본 교재 풀이(영어)

convergent geometric series, $r=\pi /{e}^{2}<1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 61번

# 등비급수개념 확인기본

5.APEX · 8.1절 · 1번우리말 번역

수열을 자신의 말로 정의하세요.

영어 원문 보기

Use your own words to define a sequence.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.1절 · 3번

# 수열의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

6.APEX · 8.1절 · 2번우리말 번역

수열의 정의역은 _____ 수이다.

영어 원문 보기

The domain of a sequence is the _____ numbers.

정답·풀이 보기

자연

원본 교재 풀이(영어)

natural

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.1절 · 4번

# 수열의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

7.APEX · 8.1절 · 3번우리말 번역

자신의 말로 수열의 치역을 설명하세요.

영어 원문 보기

Use your own words to describe the range of a sequence.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.1절 · 2번

# 수열의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

8.APEX · 8.1절 · 4번우리말 번역

수열이 유계라는 것이 무엇을 뜻하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Describe what it means for a sequence to be bounded.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 5번

# 수열의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

9.APEX · 8.2절 · 1번우리말 번역

수열과 급수가 어떤 관계인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Use your own words to describe how sequences and series are related.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 33번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

10.APEX · 8.2절 · 2번우리말 번역

부분합을 자신의 말로 정의하세요.

영어 원문 보기

Use your own words to define a partial sum.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 4번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

11.APEX · 8.2절 · 3번우리말 번역

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 주어질 때, 이 급수와 관련된 중요한 두 수열을 설명하세요.

영어 원문 보기

Given a series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ , describe the two sequences related to the series that are important.

정답·풀이 보기

하나는 항들의 수열 $\{a_n\}$ 이다. 다른 하나는 $n^\text{th}$ 부분합의 수열 $\{S_n\} = \{\sum_{i=1}^n a_i\}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

One sequence is the sequence of terms $\{a_n\}$ . The other is the sequence of $n^\text{th}$ partial sums, $\{S_n\} = \{\sum_{i=1}^n a_i\}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 6번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

12.APEX · 8.2절 · 4번우리말 번역

등비급수가 무엇인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Use your own words to explain what a geometric series is.

정답·풀이 보기

답은 학생마다 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 1번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

13.APEX · 8.2절 · 5번우리말 번역

참/거짓: $\{a_n\}$ 이 수렴하면 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 도 수렴한다.

영어 원문 보기

T/F: If $\{a_n\}$ is convergent, then $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ is also convergent.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 2번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

14.APEX · 8.2절 · 6번우리말 번역

참/거짓: $\{a_n\}$ 이 0으로 수렴하면 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 수렴한다.

영어 원문 보기

T/F: If $\{a_n\}$ converges to 0, then $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ converges.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 5번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인자동 분류

15.CLP-2 · 3.1절 · 2번우리말 번역

$a_n$ 과 $b_n$ 이 수열이고, 모든 $n \geq 100$ 에 대해 $a_n=b_n$ 이지만 $n < 100$ 에서는 $a_n \neq b_n$ 이라고 하자.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n$ 은 참인지 거짓인지 답하세요.

영어 원문 보기

Suppose $a_n$ and $b_n$ are sequences, and $a_n=b_n$ for all $n \geq 100$ , but $a_n \neq b_n$ for $n < 100$ .

True or false: $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참이다. 수열의 끝부분의 거동을 생각하면 되는데, 이는 처음 유한 개의 항에 의존하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

True. We consider the end behaviour of the sequences, which does not depend on any finite number of terms at their beginning.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 9번

# 수열의 수렴과 발산개념 확인기본자동 분류

수열의 극한 전체 문제