문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 수렴과 발산

수열이 한 값에 수렴하는지, 발산(∞·진동)하는지 판단한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.1절 · 7번우리말 풀이

첫째항이 $a_1=-3$ 이고 $n\ge1$ 에서 $a_{n+1}-a_n=4$ 를 만족하는 등차수열의 $n$ 번째 항 $a_n$ 의 식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find a formula ${a}_{n}$ for the $n\text{th}$ term of the arithmetic sequence whose first term is ${a}_{1}=-3$ such that ${a}_{n+1}-{a}_{n}=4$ for $n\ge 1.$

풀이 보기

이웃한 항의 차가 일정하면 등차수열이고, 일반항은 $a_n=a_1+(n-1)d$ 예요.

1
수열의 종류를 알아봐요. $a_{n+1}-a_n=4$ 로 차가 일정하니 공차 $d=4$ 인 등차수열이에요.
2
일반항 공식에 넣어요. $a_n=a_1+(n-1)d=-3+4(n-1)=4n-7$
3
확인해요. $a_1=4-7=-3$ , $a_2=1$ , $a_3=5$ 로 차가 $4$ 씩이에요.

답

$a_n=4n-7$

자주 하는 실수

$(n-1)$ 대신 $n$ 을 곱해 $a_n=4n-3$ 으로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=4n-7$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 63번

# 수열의 수렴과 발산계산기본

2.OpenStax 2권 · 5.1절 · 15번우리말 풀이

다음과 같이 점화식으로 정의된 수열에 대하여, $n$ 번째 항 $a_n$ 을 $a_n=f(n)$ 으로 나타내는 함수 $f(n)$ 을 구하세요.

$a_1=2$ 이고 $n\ge1$ 에서 $a_{n+1}=2a_n$

영어 원문 보기

Find a function $f(n)$ that identifies the $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ of the following recursively defined sequences, as ${a}_{n}=f(n).$

${a}_{1}=2$ and ${a}_{n+1}=2{a}_{n}$ for $n\ge 1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$a_{n+1}=2a_n$ 은 "앞 항에 2를 곱한다"는 뜻이니 공비가 2인 등비수열이에요.

1
몇 개 항을 직접 써 봐요. $a_1=2$ , $a_2=2\cdot2=4$ , $a_3=2\cdot4=8$ , $a_4=16$ 이에요. 모두 2의 거듭제곱이에요.
2
등비수열의 일반항 공식을 써요. 첫째항 $a_1=2$ , 공비 $r=2$ 이므로 $a_n=a_1\,r^{\,n-1}=2\cdot2^{\,n-1}=2^{\,n}$
3
확인해요. $a_{n+1}=2^{n+1}=2\cdot2^n=2a_n$ 이고 $a_1=2^1=2$ 이므로 조건을 모두 만족해요.

답

$f(n)=2^{n}$

자주 하는 실수

공비를 곱하는 횟수가 $n-1$ 번인데 $n$ 번으로 세어 $2^{n+1}$ 이라고 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$f(n)={2}^{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 39번

# 수열의 수렴과 발산계산기본