문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 수렴과 발산

수열이 한 값에 수렴하는지, 발산(∞·진동)하는지 판단한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.1절 · 31번우리말 풀이

다음 각 수열( $n$ 번째 항이 주어져 있음)이 유계인지, 그리고 결국 단조(증가 또는 감소)인지 말하세요.

$\dfrac{n}{2^{n}},\quad n\ge2$

영어 원문 보기

For each of the following sequences, whose $n\text{th}$ terms are indicated, state whether the sequence is bounded and whether it is eventually monotone, increasing, or decreasing.

$n/{2}^{n},$ $n\ge 2$

풀이 보기

항이 모두 양수일 때는 이웃한 항의 비 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 이 1보다 작은지 큰지로 증가·감소를 판단해요.

1
처음 몇 항을 써 봐요. $a_2=\dfrac12$ , $a_3=\dfrac38$ , $a_4=\dfrac14$ , $a_5=\dfrac5{32}$ 로 점점 줄어드는 것 같아요.
2
비로 감소를 확인해요. 모든 항이 양수이므로 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n}=\frac{n+1}{2n}=\frac12+\frac1{2n}$ $n\ge2$ 이면 이 값은 $\dfrac34$ 이하여서 1보다 작아요. 따라서 $a_{n+1}<a_n$ , 즉 $n\ge2$ 에서 감소수열이에요.
3
유계를 확인해요. 모든 항이 양수라서 아래로 $0$ 보다 크고, 감소하므로 첫 항 $a_2=\dfrac12$ 보다 커질 수 없어요. 즉 $0<a_n\le\dfrac12$ 이므로 유계예요.

답

유계이고, $n\ge2$ 에서 감소

자주 하는 실수

$n=1$ 일 때와 $n=2$ 일 때 값이 같아( $\tfrac12$ ) 처음부터 감소라고 하거나, 비가 1보다 작아지는 $n$ 의 범위를 확인하지 않는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

bounded, decreasing for $n\ge 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 12번

# 수열의 수렴과 발산개념 확인보통

2.OpenStax 2권 · 5.1절 · 63번우리말 풀이

[계산기 사용] $0$ 과 $1$ 사이의 수 $x$ 의 이진 표현 $x=0.b_1b_2b_3\ldots$ 은 다음과 같이 정할 수 있습니다. $x<1/2$ 이면 $b_1=0$ , $1/2\le x<1$ 이면 $b_1=1$ 로 둡니다. $x_1=2x-b_1$ 로 둡니다. $x_1<1/2$ 이면 $b_2=0$ , $1/2\le x<1$ 이면 $b_2=1$ 로 둡니다. $x_2=2x_1-b_2$ 로 두고, 일반적으로 $x_n=2x_{n-1}-b_n$ 이며 $x_n<1/2$ 이면 $b_{n-1}=0$ , $1/2\le x_n<1$ 이면 $b_{n-1}=1$ 입니다. $1/3$ 의 이진 전개를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The binary representation $x=0.{b}_{1}{b}_{2}{b}_{3}...$ of a number $x$ between $0$ and $1$ can be defined as follows. Let ${b}_{1}=0$ if $x<1/2$ and ${b}_{1}=1$ if $1/2\le x<1.$ Let ${x}_{1}=2x-{b}_{1}.$ Let ${b}_{2}=0$ if ${x}_{1}<1/2$ and ${b}_{2}=1$ if $1/2\le x<1.$ Let ${x}_{2}=2{x}_{1}-{b}_{2}$ and in general, ${x}_{n}=2{x}_{n-1}-{b}_{n}$ and ${b}_{n-1}=0$ if ${x}_{n}<1/2$ and ${b}_{n-1}=1$ if $1/2\le {x}_{n}<1.$ Find the binary expansion of $1/3.$

풀이 보기

"두 배 해서 1이 넘으면 1을 적고 1을 빼는" 과정을 되풀이하면 같은 값이 다시 나타나 규칙이 반복돼요.

1
규칙을 이해해요. 이진수 $0.b_1b_2\ldots$ 는 $\dfrac{b_1}2+\dfrac{b_2}4+\cdots$ 를 뜻해요. 수를 두 배 했을 때 $1$ 이상이면 그 자리 숫자는 $1$ (그리고 $1$ 을 빼고), 아니면 $0$ 이에요.
2
$x=\dfrac13$ 으로 시작해요. $\dfrac13<\dfrac12$ 이므로 $b_1=0$ 이고 $x_1=2\cdot\frac13-0=\frac23$
3
다음 단계예요. $x_1=\dfrac23\ge\dfrac12$ 이므로 $b_2=1$ 이고 $x_2=2\cdot\frac23-1=\frac43-1=\frac13$
4
반복을 찾아요. $x_2=\dfrac13$ 은 처음 값과 같아요. 그러니 이후에도 $b_3=0,\ b_4=1,\ \ldots$ 가 같은 순서로 반복돼요. 따라서 $\dfrac13=0.010101\ldots_{(2)}$ 이에요.
5
검산해요. $0.010101\ldots_{(2)}=\dfrac14+\dfrac1{16}+\cdots=\dfrac{1/4}{1-1/4}=\dfrac13$ 으로 맞아요.

답

$\dfrac13=0.010101\ldots_{(2)}$ ( $01$ 이 반복)

자주 하는 실수

$x_1$ 을 계산할 때 $b_1$ 을 빼는 것을 잊어 $x_1=\tfrac23$ 대신 다른 값을 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

${b}_{1}=0,$ ${x}_{1}=2/3,$ ${b}_{2}=1,$ ${x}_{2}=4/3-1=1/3,$ so the pattern repeats, and $1/3=0.010101\ldots .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 15번

# 수열의 수렴과 발산계산보통