문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분의 활용

적분의 활용 전체 문제

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유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 5.5절 · 60번우리말 풀이

구간 $[a,b]$ 에서 $f(x)$ 의 평균값이, $c>0$ 일 때 구간 $\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right]$ 에서 $f(cx)$ 의 평균값과 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the average value of $f(x)$ over an interval $[a,b]$ is the same as the average value of $f(cx)$ over the interval $\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right]$ for $c>0.$

풀이 보기

평균값 정의에 $u=cx$ 로 치환하면 구간의 길이와 $du$ 의 $c$ 가 서로 상쇄돼요.

1
왜 이렇게 할까요? 구간 $[p,q]$ 에서 $g$ 의 평균값은 $\frac{1}{q-p}\int_p^q g(x)\,dx$ 예요. 이 정의대로 $f(cx)$ 의 평균값을 쓰고, 치환으로 $f$ 의 평균값과 같아지는지 확인해요.
2
평균값을 식으로 써요. $f(cx)$ 를 구간 $\left[\frac ac,\frac bc\right]$ 에서 평균하면 $\frac{1}{\frac bc-\frac ac}\int_{a/c}^{b/c}f(cx)\,dx$ 이고, 앞의 분모는 $\frac{b-a}{c}$ 이므로 계수는 $\frac{c}{b-a}$ 예요.
3
치환해요. $u=cx$ 로 놓으면 $du=c\,dx$ , 즉 $dx=\frac{du}{c}$ 이고, $x=\frac ac$ 이면 $u=a$ , $x=\frac bc$ 이면 $u=b$ 예요.
4
정리해요. $\frac{c}{b-a}\int_{a}^{b}f(u)\frac{du}{c}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(u)\,du$ 이것은 구간 $[a,b]$ 에서 $f$ 의 평균값이에요. 따라서 두 평균값이 같아요. $\blacksquare$

답

증명 완료: $\dfrac{1}{\frac bc-\frac ac}\displaystyle\int_{a/c}^{b/c}f(cx)dx=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(u)du$

자주 하는 실수

치환한 뒤 $dx=\frac{du}{c}$ 의 $c$ 를 빼먹거나, 적분 구간을 $u$ 값으로 바꾸지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

Setting $u=cx$ and $du=cdx$ gets you $\frac{1}{\frac{b}{c}-\frac{a}{c}}{\int }_{a/c}^{b/c}f(cx)dx=\frac{c}{b-a}\,{\int }_{u=a}^{u=b}f(u)\frac{du}{c}=\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(u)du.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.2절 · 14번

# 함수의 평균값증명·논술보통

2.OpenStax 1권 · 6.4절 · 29번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 곡선을 $x$ 축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 곡면의 넓이를 구하세요. 적분을 정확히 구할 수 없으면 계산기로 근삿값을 구하세요.

$y=7x$ ( $x=-1$ 부터 $x=1$ 까지)

영어 원문 보기

For the following exercises, find the surface area of the volume generated when the following curves revolve around the $x\text{-axis}.$ If you cannot evaluate the integral exactly, use your calculator to approximate it.

$y=7x$ from $x=-1\,\text{to}\,x=1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

겉넓이는 $\int 2\pi\,(\text{반지름})\,ds$ 이고, 반지름은 $|y|$ , $ds=\sqrt{1+(y')^2}dx$ 예요.

1
$x$ 축 둘레로 돌린 곡면의 넓이는 $S=\int_a^b2\pi\,|y|\sqrt{1+(y')^2}\,dx$ 예요. 반지름은 축에서 곡선까지의 거리 $|y|$ 라서 절댓값이 필요해요.
2
$y'=7$ 이므로 $\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt2$ 이고 $|y|=7|x|$ 예요.
3
$S=2\pi\int_{-1}^{1}7|x|\cdot5\sqrt2\,dx=70\sqrt2\,\pi\int_{-1}^{1}|x|\,dx$
4
$\int_{-1}^{1}|x|\,dx=2\int_0^1x\,dx=2\cdot\frac12=1$ 이므로 $S=70\sqrt2\,\pi$ 예요.
5
검산해요. 이 곡면은 꼭짓점이 원점인 두 원뿔을 맞붙인 모양이에요. 한 원뿔은 밑면 반지름 $7$ , 높이 $1$ , 빗변 $\sqrt{50}$ 이므로 옆넓이 $\pi\cdot7\cdot\sqrt{50}=35\sqrt2\,\pi$ 이고, 둘을 합하면 $70\sqrt2\,\pi$ 예요.

답

$70\sqrt{2}\,\pi$

자주 하는 실수

$x<0$ 에서 $y$ 가 음수라 반지름이 음수가 되어 구간 전체가 $0$ 으로 상쇄된다고 착각해요. 반지름은 $|y|$ 예요.

원본 교재 풀이(영어)

$70\pi \sqrt{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 60번

# 회전체의 겉넓이계산보통