적분의 활용 전체 연습문제

1.OpenStax 1권 · 5.5절 · 60번우리말 풀이

구간 $[a,b]$ 에서 $f(x)$ 의 평균값이, $c>0$ 일 때 구간 $\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right]$ 에서 $f(cx)$ 의 평균값과 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the average value of $f(x)$ over an interval $[a,b]$ is the same as the average value of $f(cx)$ over the interval $\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right]$ for $c>0.$

풀이 보기

평균값 정의에 $u=cx$ 로 치환하면 구간의 길이와 $du$ 의 $c$ 가 서로 상쇄돼요.

1
왜 이렇게 할까요? 구간 $[p,q]$ 에서 $g$ 의 평균값은 $\frac{1}{q-p}\int_p^q g(x)\,dx$ 예요. 이 정의대로 $f(cx)$ 의 평균값을 쓰고, 치환으로 $f$ 의 평균값과 같아지는지 확인해요.
2
평균값을 식으로 써요. $f(cx)$ 를 구간 $\left[\frac ac,\frac bc\right]$ 에서 평균하면 $\frac{1}{\frac bc-\frac ac}\int_{a/c}^{b/c}f(cx)\,dx$ 이고, 앞의 분모는 $\frac{b-a}{c}$ 이므로 계수는 $\frac{c}{b-a}$ 예요.
3
치환해요. $u=cx$ 로 놓으면 $du=c\,dx$ , 즉 $dx=\frac{du}{c}$ 이고, $x=\frac ac$ 이면 $u=a$ , $x=\frac bc$ 이면 $u=b$ 예요.
4
정리해요. $\frac{c}{b-a}\int_{a}^{b}f(u)\frac{du}{c}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(u)\,du$ 이것은 구간 $[a,b]$ 에서 $f$ 의 평균값이에요. 따라서 두 평균값이 같아요. $\blacksquare$

답

증명 완료: $\dfrac{1}{\frac bc-\frac ac}\displaystyle\int_{a/c}^{b/c}f(cx)dx=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(u)du$

자주 하는 실수

치환한 뒤 $dx=\frac{du}{c}$ 의 $c$ 를 빼먹거나, 적분 구간을 $u$ 값으로 바꾸지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

Setting $u=cx$ and $du=cdx$ gets you $\frac{1}{\frac{b}{c}-\frac{a}{c}}{\int }_{a/c}^{b/c}f(cx)dx=\frac{c}{b-a}\,{\int }_{u=a}^{u=b}f(u)\frac{du}{c}=\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(u)du.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.2절 · 14번

# 함수의 평균값증명·논술보통

2.OpenStax 1권 · 6.4절 · 29번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 곡선을 $x$ 축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 곡면의 넓이를 구하세요. 적분을 정확히 구할 수 없으면 계산기로 근삿값을 구하세요.

$y=7x$ ( $x=-1$ 부터 $x=1$ 까지)

영어 원문 보기

For the following exercises, find the surface area of the volume generated when the following curves revolve around the $x\text{-axis}.$ If you cannot evaluate the integral exactly, use your calculator to approximate it.

$y=7x$ from $x=-1\,\text{to}\,x=1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

겉넓이는 $\int 2\pi\,(\text{반지름})\,ds$ 이고, 반지름은 $|y|$ , $ds=\sqrt{1+(y')^2}dx$ 예요.

1
$x$ 축 둘레로 돌린 곡면의 넓이는 $S=\int_a^b2\pi\,|y|\sqrt{1+(y')^2}\,dx$ 예요. 반지름은 축에서 곡선까지의 거리 $|y|$ 라서 절댓값이 필요해요.
2
$y'=7$ 이므로 $\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt2$ 이고 $|y|=7|x|$ 예요.
3
$S=2\pi\int_{-1}^{1}7|x|\cdot5\sqrt2\,dx=70\sqrt2\,\pi\int_{-1}^{1}|x|\,dx$
4
$\int_{-1}^{1}|x|\,dx=2\int_0^1x\,dx=2\cdot\frac12=1$ 이므로 $S=70\sqrt2\,\pi$ 예요.
5
검산해요. 이 곡면은 꼭짓점이 원점인 두 원뿔을 맞붙인 모양이에요. 한 원뿔은 밑면 반지름 $7$ , 높이 $1$ , 빗변 $\sqrt{50}$ 이므로 옆넓이 $\pi\cdot7\cdot\sqrt{50}=35\sqrt2\,\pi$ 이고, 둘을 합하면 $70\sqrt2\,\pi$ 예요.

답

$70\sqrt{2}\,\pi$

자주 하는 실수

$x<0$ 에서 $y$ 가 음수라 반지름이 음수가 되어 구간 전체가 $0$ 으로 상쇄된다고 착각해요. 반지름은 $|y|$ 예요.

원본 교재 풀이(영어)

$70\pi \sqrt{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 60번

# 회전체의 겉넓이계산보통

3.OpenStax 1권 · 6.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 곡선 $y=3x,x=0$ , 및 $y=3$ 으로 유계이고 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전한다.

영어 원문 보기

[T] Bounded by the curves $y=3x,x=0,$ and $y=3$ rotated around the $y\text{-axis}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 6번

# 원통 껍질법계산자동 분류

4.OpenStax 1권 · 6.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 두 곡선 사이의 영역을 주어진 축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 부피를 구하세요. 셸 방법과 와셔 방법을 모두 사용하세요. 공학 도구를 사용하여 함수의 그래프를 그리고, 대표적인 조각 하나를 손으로 그리세요.

[계산기 사용] 곡선 $y=3x,y=0,\,\text{그리고}\,x=3$ 으로 유계인 영역을 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킵니다.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the volume generated when the region between the two curves is rotated around the given axis. Use both the shell method and the washer method. Use technology to graph the functions and draw a typical slice by hand.

[T] Bounded by the curves $y=3x,y=0,\,\text{and}\,x=3$ rotated around the $y\text{-axis}.$

정답·풀이 보기

이 그림은 제1사분면에 그려진 그래프이다. 직선 y=3x가 그려져 있다. 직선 아래와 x축 위에 색칠된 영역이 있다. 이 영역은 오른쪽이 x=3으로 막혀 있다.

$54\pi$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. It is the line y=3x. Under the line and above the x-axis there is a shaded region. The region is bounded to the right at x=3.

$54\pi$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 4번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 1권 · 6.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 두 곡선 사이의 영역을 주어진 축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 부피를 구하세요. 셸 방법과 와셔 방법을 모두 사용하세요. 공학 도구를 사용하여 함수의 그래프를 그리고, 대표적인 얇은 조각을 손으로 그리세요.

[계산기 사용] 곡선 $y=3x,y=0,\,\text{그리고}\,y=3$ 으로 유계된 영역을 $x\text{축}$ 을 중심으로 회전시키세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the volume generated when the region between the two curves is rotated around the given axis. Use both the shell method and the washer method. Use technology to graph the functions and draw a typical slice by hand.

[T] Bounded by the curves $y=3x,y=0,\,\text{and}\,y=3$ rotated around the $x\text{-axis}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 14번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 1권 · 6.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 두 곡선 사이의 영역을 주어진 축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 부피를 구하세요. 셸 방법과 와셔 방법을 모두 사용하세요. 공학 도구를 사용하여 함수의 그래프를 그리고 대표적인 조각을 손으로 그리세요.

[계산기 사용] 곡선 $y=3x,y=0,\,\text{그리고}\,x=3$ 으로 유계인 영역을 $x$ 축을 중심으로 회전시킵니다.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the volume generated when the region between the two curves is rotated around the given axis. Use both the shell method and the washer method. Use technology to graph the functions and draw a typical slice by hand.

[T] Bounded by the curves $y=3x,y=0,\,\text{and}\,x=3$ rotated around the $x\text{-axis}.$

정답·풀이 보기

이 그림은 제1사분면에 그려진 그래프이다. 직선 y=3x가 그려져 있고, 직선 아래와 x축 위에 색칠된 영역이 있다. 이 영역은 오른쪽이 x=3으로 유계이다.

$81\pi$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. It is the line y=3x. Under the line and above the x-axis there is a shaded region. The region is bounded to the right at x=3.

$81\pi$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 50번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 1권 · 6.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 두 곡선 사이의 영역을 주어진 축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 부피를 구하세요. 셸 방법과 와셔 방법을 모두 사용하세요. 공학 도구를 사용하여 함수의 그래프를 그리고, 대표적인 조각을 손으로 그리세요.

[계산기 사용] 곡선 $y=2{x}^{3},y=0,\,\text{그리고}\,x=2$ 로 유계인 영역을 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킵니다.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the volume generated when the region between the two curves is rotated around the given axis. Use both the shell method and the washer method. Use technology to graph the functions and draw a typical slice by hand.

[T] Bounded by the curves $y=2{x}^{3},y=0,\,\text{and}\,x=2$ rotated around the $y\text{-axis}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 34번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 1권 · 6.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 두 곡선 사이의 영역을 주어진 축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 부피를 구하세요. 셸 방법과 와셔 방법을 모두 사용하세요. 공학 도구를 사용하여 함수의 그래프를 그리고, 대표적인 조각을 손으로 그리세요.

[계산기 사용] 곡선 $y=2{x}^{3},y=0,\,\text{및}\,x=2$ 로 유계인 영역을 $x\text{축}$ 을 중심으로 회전시킵니다.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the volume generated when the region between the two curves is rotated around the given axis. Use both the shell method and the washer method. Use technology to graph the functions and draw a typical slice by hand.

[T] Bounded by the curves $y=2{x}^{3},y=0,\,\text{and}\,x=2$ rotated around the $x\text{-axis}.$

정답·풀이 보기

이 그림은 제1사분면에 그려진 그래프이다. 증가하는 곡선 y=2x^3이 있다. 곡선 아래, x축 위에 색칠된 영역이 있다. 이 영역은 오른쪽이 x=2로 유계이다.

$\frac{512\pi }{7}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. It is the increasing curve y=2x^3. Under the curve and above the x-axis there is a shaded region. The region is bounded to the right at x=2.

$\frac{512\pi }{7}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 8번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 1권 · 6.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 원통껍질 방법을 이용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있으며 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킨다는 점에 유의하세요.

$y=1-{x}^{2},x=0,\,\text{그리고}\,x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=1-{x}^{2},x=0,\,\text{and}\,x=1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.3절 · 3번

# 원통 껍질법계산자동 분류

10.OpenStax 1권 · 6.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 원통껍질법을 이용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있으며 $y\text{축}$ 을 축으로 회전시킴에 유의하세요.

$y=5{x}^{3},x=0,\,\text{그리고}\,x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=5{x}^{3},x=0,\,\text{and}\,x=1$

정답·풀이 보기

$2\pi$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$2\pi$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.3절 · 3번

# 원통 껍질법계산자동 분류

11.OpenStax 1권 · 6.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 원통껍질을 이용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있고, $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킨다는 점에 유의하세요.

$y=\frac{1}{x},x=1,\,\text{그리고}\,x=100$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=\frac{1}{x},x=1,\,\text{and}\,x=100$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 38번

# 원통 껍질법계산자동 분류

12.OpenStax 1권 · 6.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 셸 방법을 사용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x$ 축 사이에 있고 $y$ 축을 중심으로 회전시킨다는 점에 주의하세요.

$y=\sqrt{1-{x}^{2}},x=0,\,\text{그리고}\,x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=\sqrt{1-{x}^{2}},x=0,\,\text{and}\,x=1$

정답·풀이 보기

$\frac{2\pi }{3}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{2\pi }{3}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 26번

# 원통 껍질법계산자동 분류

13.OpenStax 1권 · 6.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 원통껍질 방법을 이용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있고 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킨다는 점에 유의하세요.

$y=\frac{1}{1+{x}^{2}},x=0,\,\text{그리고}\,x=3$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=\frac{1}{1+{x}^{2}},x=0,\,\text{and}\,x=3$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 40번

# 원통 껍질법계산자동 분류

14.OpenStax 1권 · 6.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 원통껍질 방법을 이용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있고 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전함에 유의하세요.

$y=\sin {x}^{2},x=0,\,\text{그리고}\,x=\sqrt{\pi }$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=\sin {x}^{2},x=0,\,\text{and}\,x=\sqrt{\pi }$

정답·풀이 보기

$2\pi$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$2\pi$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 10번

# 원통 껍질법계산자동 분류

15.OpenStax 1권 · 6.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 원통껍질 방법을 사용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있으며 $y\text{축}$ 을 회전축으로 하여 회전시킨다는 점에 유의하세요.

$y=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}},x=0,\,\text{그리고}\,x=\frac{1}{2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}},x=0,\,\text{and}\,x=\frac{1}{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 20번

# 원통 껍질법계산자동 분류

16.OpenStax 1권 · 6.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 셸 방법을 사용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x$ 축 사이에 있고 $y$ 축을 중심으로 회전시킨다는 점에 주의하세요.

$y=\sqrt{x},x=0,\,\text{그리고}\,x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=\sqrt{x},x=0,\,\text{and}\,x=1$

정답·풀이 보기

$\frac{4\pi }{5}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{4\pi }{5}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 22번

# 원통 껍질법계산자동 분류

17.OpenStax 1권 · 6.3절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 원통껍질 방법을 이용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있으며 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킨다는 점에 유의하세요.

$y={(1+{x}^{2})}^{3},x=0,\,\text{그리고}\,x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y={(1+{x}^{2})}^{3},x=0,\,\text{and}\,x=1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 48번

# 원통 껍질법계산자동 분류

18.OpenStax 1권 · 6.3절 · 16번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 원통껍질 방법을 이용하여 주어진 입체의 부피를 구하세요. 회전시키는 영역은 곡선과 $x\text{축}$ 사이에 있으며 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킨다는 점에 유의하세요.

$y=5{x}^{3}-2{x}^{4},x=0,\,\text{그리고}\,x=2$

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the $x\text{-axis}$ and are rotated around the $y\text{-axis}.$

$y=5{x}^{3}-2{x}^{4},x=0,\,\text{and}\,x=2$

정답·풀이 보기

$\frac{64\pi }{3}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{64\pi }{3}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 24번

# 원통 껍질법계산자동 분류

19.OpenStax 1권 · 6.3절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 원통껍질법을 이용하여 주어진 곡선과 $y=0$ 사이의 영역을 $x\text{축}$ 을 중심으로 회전시켜 생기는 입체의 부피를 구하세요.

$y=\sqrt{1-{x}^{2}},x=0,\,x=1$ 그리고 x축

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volume generated by rotating the regions between the given curve and $y=0$ around the $x\text{-axis}.$

$y=\sqrt{1-{x}^{2}},x=0,\,x=1$ and the x-axis

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 12번

# 원통 껍질법계산자동 분류

20.OpenStax 1권 · 6.3절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 셸 방법을 이용하여 주어진 곡선과 $y=0$ 사이의 영역을 $x\text{축}$ 둘레로 회전시켜 생기는 부피를 구하세요.

$y={x}^{2},x=0,\,x=2$ 와 x축

영어 원문 보기

For the following exercises, use shells to find the volume generated by rotating the regions between the given curve and $y=0$ around the $x\text{-axis}.$

$y={x}^{2},x=0,\,x=2$ and the x-axis

정답·풀이 보기

$\frac{32\pi }{5}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{32\pi }{5}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 48번

# 원통 껍질법계산자동 분류

적분의 활용 전체 문제