적분의 활용 전체 연습문제

1.OpenStax 1권 · 5.5절 · 60번우리말 풀이

구간 $[a,b]$ 에서 $f(x)$ 의 평균값이, $c>0$ 일 때 구간 $\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right]$ 에서 $f(cx)$ 의 평균값과 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the average value of $f(x)$ over an interval $[a,b]$ is the same as the average value of $f(cx)$ over the interval $\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right]$ for $c>0.$

풀이 보기

평균값 정의에 $u=cx$ 로 치환하면 구간의 길이와 $du$ 의 $c$ 가 서로 상쇄돼요.

1
왜 이렇게 할까요? 구간 $[p,q]$ 에서 $g$ 의 평균값은 $\frac{1}{q-p}\int_p^q g(x)\,dx$ 예요. 이 정의대로 $f(cx)$ 의 평균값을 쓰고, 치환으로 $f$ 의 평균값과 같아지는지 확인해요.
2
평균값을 식으로 써요. $f(cx)$ 를 구간 $\left[\frac ac,\frac bc\right]$ 에서 평균하면 $\frac{1}{\frac bc-\frac ac}\int_{a/c}^{b/c}f(cx)\,dx$ 이고, 앞의 분모는 $\frac{b-a}{c}$ 이므로 계수는 $\frac{c}{b-a}$ 예요.
3
치환해요. $u=cx$ 로 놓으면 $du=c\,dx$ , 즉 $dx=\frac{du}{c}$ 이고, $x=\frac ac$ 이면 $u=a$ , $x=\frac bc$ 이면 $u=b$ 예요.
4
정리해요. $\frac{c}{b-a}\int_{a}^{b}f(u)\frac{du}{c}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(u)\,du$ 이것은 구간 $[a,b]$ 에서 $f$ 의 평균값이에요. 따라서 두 평균값이 같아요. $\blacksquare$

답

증명 완료: $\dfrac{1}{\frac bc-\frac ac}\displaystyle\int_{a/c}^{b/c}f(cx)dx=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(u)du$

자주 하는 실수

치환한 뒤 $dx=\frac{du}{c}$ 의 $c$ 를 빼먹거나, 적분 구간을 $u$ 값으로 바꾸지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

Setting $u=cx$ and $du=cdx$ gets you $\frac{1}{\frac{b}{c}-\frac{a}{c}}{\int }_{a/c}^{b/c}f(cx)dx=\frac{c}{b-a}\,{\int }_{u=a}^{u=b}f(u)\frac{du}{c}=\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(u)du.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.2절 · 14번

# 함수의 평균값증명·논술보통

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