문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분의 활용

적분의 활용 전체 문제

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유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 5.5절 · 60번우리말 풀이

구간 $[a,b]$ 에서 $f(x)$ 의 평균값이, $c>0$ 일 때 구간 $\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right]$ 에서 $f(cx)$ 의 평균값과 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the average value of $f(x)$ over an interval $[a,b]$ is the same as the average value of $f(cx)$ over the interval $\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right]$ for $c>0.$

풀이 보기

평균값 정의에 $u=cx$ 로 치환하면 구간의 길이와 $du$ 의 $c$ 가 서로 상쇄돼요.

1
왜 이렇게 할까요? 구간 $[p,q]$ 에서 $g$ 의 평균값은 $\frac{1}{q-p}\int_p^q g(x)\,dx$ 예요. 이 정의대로 $f(cx)$ 의 평균값을 쓰고, 치환으로 $f$ 의 평균값과 같아지는지 확인해요.
2
평균값을 식으로 써요. $f(cx)$ 를 구간 $\left[\frac ac,\frac bc\right]$ 에서 평균하면 $\frac{1}{\frac bc-\frac ac}\int_{a/c}^{b/c}f(cx)\,dx$ 이고, 앞의 분모는 $\frac{b-a}{c}$ 이므로 계수는 $\frac{c}{b-a}$ 예요.
3
치환해요. $u=cx$ 로 놓으면 $du=c\,dx$ , 즉 $dx=\frac{du}{c}$ 이고, $x=\frac ac$ 이면 $u=a$ , $x=\frac bc$ 이면 $u=b$ 예요.
4
정리해요. $\frac{c}{b-a}\int_{a}^{b}f(u)\frac{du}{c}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(u)\,du$ 이것은 구간 $[a,b]$ 에서 $f$ 의 평균값이에요. 따라서 두 평균값이 같아요. $\blacksquare$

답

증명 완료: $\dfrac{1}{\frac bc-\frac ac}\displaystyle\int_{a/c}^{b/c}f(cx)dx=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(u)du$

자주 하는 실수

치환한 뒤 $dx=\frac{du}{c}$ 의 $c$ 를 빼먹거나, 적분 구간을 $u$ 값으로 바꾸지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

Setting $u=cx$ and $du=cdx$ gets you $\frac{1}{\frac{b}{c}-\frac{a}{c}}{\int }_{a/c}^{b/c}f(cx)dx=\frac{c}{b-a}\,{\int }_{u=a}^{u=b}f(u)\frac{du}{c}=\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(u)du.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.2절 · 14번

# 함수의 평균값증명·논술보통

2.OpenStax 1권 · 6.3절 · 51번대학 수준우리말 번역

함수 $y=f(x)$ 를 생각하세요. 이 함수는 $f(0)=b$ 에서 $f(1)=0$ 까지 감소합니다. 이 영역을 $x=0$ 과 $y=0$ 과 함께 $y$ 축을 중심으로 회전시켜 생기는 입체의 부피를 구하기 위한 적분을 원통껍질법과 원판법을 모두 사용하여 세우세요. 두 방법이 같은 부피에 근사함을 증명하세요. 어느 방법이 적용하기 더 쉬운가요? (힌트: $f(x)$ 는 일대일 함수이므로 역함수 ${f}^{-1}(y)$ 가 존재합니다.)

영어 원문 보기

Consider the function $y=f(x),$ which decreases from $f(0)=b$ to $f(1)=0.$ Set up the integrals for determining the volume, using both the shell method and the disk method, of the solid generated when this region, with $x=0$ and $y=0,$ is rotated around the $y\text{-axis}.$ Prove that both methods approximate the same volume. Which method is easier to apply? (Hint: Since $f(x)$ is one-to-one, there exists an inverse ${f}^{-1}(y).)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 22번

# 원통 껍질법증명·논술자동 분류

3.OpenStax 1권 · 6.5절 · 36번대학 수준우리말 번역

원뿔 모양 탱크의 단면의 넓이가 깊이에 따라 증가하며 $A=(\pi {r}^{2}{h}^{2})/{H}^{3}$ 일 때, 이 탱크를 비우는 데 필요한 일은 높이와 밑면이 같은 원기둥의 일의 절반임을 보이세요.

영어 원문 보기

A cone-shaped tank has a cross-sectional area that increases with its depth: $A=(\pi {r}^{2}{h}^{2})/{H}^{3}.$ Show that the work to empty it is half the work for a cylinder with the same height and base.

정답·풀이 보기

답은 다를 수 있다

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.5절 · 34번

# 일증명·논술자동 분류