문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분 기법

부분분수 적분

유리함수를 부분분수로 나누어 적분한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

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2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-2 · 1.10절 · 1번대학 수준우리말 번역

아래는 서로 다른 네 이차함수의 그래프입니다. 각 이차함수가 (1) 기약인지, (2) 서로 다른 두 일차 인수의 곱인지, (3) 중복된 일차 인수(와 경우에 따라 상수)의 곱인지 판단하세요.

영어 원문 보기

Below are the graphs of four different quadratic functions. For each quadratic function, decide whether it is: (i) irreducible, (ii) the product of two distinct linear factors, or (iii) the product of a repeated linear factor (and possibly a constant).

정답·풀이 보기

이차함수가 어떤 상수 $a,b,c,d$ 에 대해 $(ax+b)(cx+d)$ 로 인수분해되면, 그 근은 $-\frac{b}{a}$ 와 $-\frac{d}{c}$ 이다. 따라서 이차함수가 근을 갖지 않으면 기약이다. 그래프 (d)의 함수가 이 경우이다.

이차함수가 서로 다른 두 근을 가지면, 어떤 상수 $\alpha$ 에 대해서도 $(ax+b) \neq \alpha(cx+d)$ 이다. 즉, 이 이차함수는 서로 다른 일차 인수들의 곱이다. (b)와 (c)에 그려진 함수는 각각 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점이 두 개이므로 이 경우이다.

마지막으로, 이차함수가 근을 정확히 하나만 가지면 $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ 이므로 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} (ax+b)(cx+d)&=a(x+\tfrac{b}{a})(cx+d) = a(x+\tfrac{d}{c})(cx+d) = \tfrac{a}{c}(cx+d)(cx+d) \end{aligned}$

즉, 이 이차함수는 중복된 일차 인수와 상수 $\frac{a}{c}$ (단순히 $\frac{a}{c}=1$ 일 수도 있다)의 곱이다.

원본 교재 풀이(영어)

If a quadratic function can be factored as $(ax+b)(cx+d)$ for some constants $a,b,c,d$ , then it has roots $-\frac{b}{a}$ and $-\frac{d}{c}$ . So, if a quadratic function has no roots, it is irreducible: this is the case for the function in graph (d).

If a quadratic function has two different roots, then $(ax+b) \neq \alpha(cx+d)$ for any constant $\alpha$ . That is, the quadratic function is the product of distinct linear factors. This is the case for the functions graphed in (b) and (c), since these each have two distinct places where they cross the $x$ -axis.

Finally, if a quadratic function has precisely one root, then $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ , so:

$\begin{aligned} (ax+b)(cx+d)&=a(x+\tfrac{b}{a})(cx+d) = a(x+\tfrac{d}{c})(cx+d) = \tfrac{a}{c}(cx+d)(cx+d) \end{aligned}$

That is, the quadratic function is the product of a repeated linear factor, and a constant $\frac{a}{c}$ (which might simply be $\frac{a}{c}=1$ ).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 50번

# 부분분수 적분그래프·표 해석기본자동 분류

2.CLP-2 · 1.10절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 사실이 있습니다.

분모에 중복된 일차인수 $(ax+b)^n$ 이 있고 분자의 차수가 분모의 차수보다 (엄밀히) 작은 유리함수가 있다고 하자. 부분분수분해에서 다음 항들

$\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2}+\frac{A_3}{(ax+b)^3}+\cdots+ \frac{A_n}{(ax+b)^n}\tag{1}$

을 하나의 항

$\frac{B_1+B_2x+B_3x^2+\cdots + B_{n}x^{n-1}}{(ax+b)^n}\tag{2}$

으로 바꾸어도 여전히 해를 구할 수 있음이 보장된다.

부분분수분해에서 (2)의 단일 항 대신 (1)의 합을 사용하는 이유는 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Here is a fact:

Suppose we have a rational function with a repeated linear factor $(ax+b)^n$ in the denominator, and the degree of the numerator is strictly less than the degree of the denominator. In the partial fraction decomposition, we can replace the terms

$\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2}+\frac{A_3}{(ax+b)^3}+\cdots+ \frac{A_n}{(ax+b)^n}\tag{1}$

with the single term

$\frac{B_1+B_2x+B_3x^2+\cdots + B_{n}x^{n-1}}{(ax+b)^n}\tag{2}$

and still be guaranteed to find a solution.

Why do we use the sum in (1), rather than the single term in (2), in partial fraction decomposition?

정답·풀이 보기

부분분수분해의 목표는 피적분함수를 적분하기 쉬운 꼴로 쓰는 것이다. (1)의 부정적분은 치환 $u=(ax+b)$ 로 쉽게 구할 수 있다. 반면 (2)의 부정적분은 어떻게 구해야 할지 분명하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

The goal of partial fraction decomposition is to write our integrand in a form that is easy to integrate. The antiderivative of (1) can be easily determined with the substitution $u=(ax+b)$ . It's less clear how to find the antiderivative of (2).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.10절 · 15번

# 부분분수 적분계산기본자동 분류