문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분 기법

삼각함수의 적분

sinᵐx cosⁿx, tan·sec의 거듭제곱 같은 삼각함수 곱을 적분한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-2 · 1.8절 · 1번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x$ 의 값을 치환 $u=\cos x$ 를 이용하여 구하려고 합니다. 치환이 성립하기 위해 참이어야 하는 것은 다음 중 어느 것입니까?

(a) $n$ 은 짝수여야 한다 (b) $n$ 은 홀수여야 한다 (c) $n$ 은 정수여야 한다 (d) $n$ 은 양수여야 한다 (e) $n$ 은 임의의 실수일 수 있다

영어 원문 보기

Suppose you want to evaluate $\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x$ using the substitution $u=\cos x$ . Which of the following need to be true for your substitution to work?

(a) $n$ must be even (b) $n$ must be odd (c) $n$ must be an integer (d) $n$ must be positive (e) $n$ can be any real number

정답·풀이 보기

$u=\cos x$ 이면 $\mathrm{d}u=-\sin x\,\mathrm{d}x$ 이다. $n \neq -1$ 이면

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = \left[-\frac{1}{n+1}u^{n+1}\right]_1^{1/\sqrt2}=\frac{1}{n+1}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}^{n+1}}\right) \\ \text{$n=-1$ 이면} \\ \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = - \int_1^{1/\sqrt2} \frac{1}{u} \mathrm{d}u =\bigg[ -\log|u|\bigg]_1^{1/\sqrt2} \\ & =-\log\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) = \frac{1}{2}\log 2 \end{aligned}$

따라서 (e) $n$ 은 임의의 실수일 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

If $u=\cos x$ , then $\mathrm{d}u=-\sin x\,\mathrm{d}x$ . If $n \neq -1$ , then

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = \left[-\frac{1}{n+1}u^{n+1}\right]_1^{1/\sqrt2}=\frac{1}{n+1}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}^{n+1}}\right) \\ \text{If $n=-1$, then} \\ \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = - \int_1^{1/\sqrt2} \frac{1}{u} \mathrm{d}u =\bigg[ -\log|u|\bigg]_1^{1/\sqrt2} \\ & =-\log\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) = \frac{1}{2}\log 2 \end{aligned}$

So, (e) $n$ can be any real number.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 39번

# 삼각함수의 적분계산기본자동 분류

2.CLP-2 · 1.8절 · 2번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \sec^n x \tan x \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요. 여기서 $n$ 은 0보다 큰 정수입니다.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \sec^n x \tan x \mathrm{d}x$ , where $n$ is a strictly positive integer.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

치환 $u=\sec x$ , $\mathrm{d}u=\sec x \tan x ~\mathrm{d}x$ 를 사용한다.

$\begin{aligned} \int \sec^n x \tan x \mathrm{d}x&=\int \sec^{n-1}x \cdot \sec x \tan x~\mathrm{d}x = \int u^{n-1}\mathrm{d}u \\ \text{$n$ 이 양수이므로 $n-1 \neq -1$ 이고, 따라서 거듭제곱 법칙으로 부정적분한다.} \\ &=\frac{u^n}{n}+C = \frac{1}{n}\sec^n x +C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the substitution $u=\sec x$ , $\mathrm{d}u=\sec x \tan x ~\mathrm{d}x$ .

$\begin{aligned} \int \sec^n x \tan x \mathrm{d}x&=\int \sec^{n-1}x \cdot \sec x \tan x~\mathrm{d}x = \int u^{n-1}\mathrm{d}u \\ \text{Since $n$ is positive, $n-1 \neq -1$, so we antidifferentiate using the power rule.} \\ &=\frac{u^n}{n}+C = \frac{1}{n}\sec^n x +C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.8절 · 3번

# 삼각함수의 적분계산기본자동 분류

3.CLP-2 · 1.8절 · 3번대학 수준우리말 번역

기억하기 더 쉬운 항등식 $\sin^2x+\cos^2 x =1$ 로부터 항등식 $\tan^2 x +1 = \sec^2 x$ 를 유도하세요.

영어 원문 보기

Derive the identity $\tan^2 x +1 = \sec^2 x$ from the easier-to-remember identity $\sin^2x+\cos^2 x =1$ .

정답·풀이 보기

양변을 $\cos^2 x$ 로 나누고 간단히 한다.

$\begin{aligned} \sin^2x+\cos^2 x &=1 \\\frac{\sin^2x+\cos^2 x }{\cos^2 x}&=\frac{1}{\cos^2 x} \\\frac{\sin^2x}{\cos^2 x}+1&=\sec^2 x \\\tan^2 x+1&=\sec^2 x \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We divide both sides by $\cos^2 x$ , and simplify.

$\begin{aligned} \sin^2x+\cos^2 x &=1 \\\frac{\sin^2x+\cos^2 x }{\cos^2 x}&=\frac{1}{\cos^2 x} \\\frac{\sin^2x}{\cos^2 x}+1&=\sec^2 x \\\tan^2 x+1&=\sec^2 x \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.8절 · 1번

# 삼각함수의 적분계산기본자동 분류