문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 적분

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3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.10절 · 13번우리말 풀이

다음 문제에서 각 함수 $f(x)$ 의 부정적분 $F(x)$ 의 일반형을 구하세요.

$f(x)=\left(\sqrt{x}\right)^{3}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the general form for the antiderivative $F(x)$ of each function $f(x).$

$f(x)={\left(\sqrt{x}\right)}^{3}$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

근호를 지수로 바꾸면 $x^n$ 꼴이 되어 부정적분 공식을 바로 쓸 수 있어요.

1
$\sqrt{x}=x^{1/2}$ 이므로 $\left(\sqrt{x}\right)^3=x^{3/2}$ 로 바꿔 써요.
2
공식 $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ( $n\ne-1$ )에 $n=\frac32$ 를 넣어요. $n+1=\frac52$ 이므로 $F(x)=\frac{x^{5/2}}{5/2}+C=\frac25x^{5/2}+C$
3
$x^{5/2}=\left(\sqrt{x}\right)^5$ 이므로 $F(x)=\frac25\left(\sqrt{x}\right)^5+C$ 라고 써도 같아요.

답

$F(x)=\frac25x^{5/2}+C$

자주 하는 실수

적분상수 $C$ 를 빼먹거나, 분모에 $\frac52$ 대신 $\frac32$ 를 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$F(x)=\frac{2}{5}{\left(\sqrt{x}\right)}^{5}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 8번

# 부정적분의 뜻과 계산계산기본

2.OpenStax 1권 · 5.2절 · 42번우리말 풀이

다음 문제에서 $\int_0^1 x\,dx=\frac12$ , $\int_0^1 x^2\,dx=\frac13$ , $\int_0^1 x^3\,dx=\frac14$ 임을 이용해 적분을 계산하세요.

$\int_0^1 (1-2x)^3\,dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that ${\int }_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2},{\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx=\frac{1}{3},$ and ${\int }_{0}^{1}{x}^{3}dx=\frac{1}{4},$ compute the integrals.

${\int }_{0}^{1}{(1-2x)}^{3}dx$

풀이 보기

식을 전개해서 아는 적분들의 합으로 쪼개요.

1
주어진 값은 $x$ , $x^2$ , $x^3$ 의 적분뿐이에요. 그러니 $(1-2x)^3$ 을 전개해 $x$ 의 거듭제곱 합으로 바꿔요. $(1-2x)^3=1-6x+12x^2-8x^3$
2
정적분은 합과 상수배를 밖으로 뺄 수 있어요. $\int_0^1(1-6x+12x^2-8x^3)\,dx=\int_0^1 1\,dx-6\int_0^1x\,dx+12\int_0^1x^2\,dx-8\int_0^1x^3\,dx$
3
$\int_0^1 1\,dx=1$ 이고 나머지는 주어진 값을 넣어요. $1-6\cdot\frac12+12\cdot\frac13-8\cdot\frac14=1-3+4-2=0$
4
검산해 봐요. 부정적분 $x-3x^2+4x^3-2x^4$ 에 $x=1$ 을 넣으면 $1-3+4-2=0$ 으로 같아요.

답

$0$

자주 하는 실수

$(1-2x)^3$ 을 전개할 때 가운데 항의 계수를 틀리기 쉬워요. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ 을 써요.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}(1-6x+12{x}^{2}-8{x}^{3})dx=(x-3{x}^{2}+4{x}^{3}-2{x}^{4})=(1-3+4-2)(0-0+0-0)=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 26번

# 정적분의 뜻과 성질계산기본

3.OpenStax 1권 · 5.6절 · 8번우리말 풀이

다음 문제에서 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each indefinite integral.

$\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

$\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$ 로 바꿔 쓰면 거듭제곱의 적분 공식을 바로 쓸 수 있어요.

1
왜 이렇게 할까요? 분수와 근호가 섞인 식은 공식을 쓰기 어려워요. 지수 꼴로 바꾸면 $x^n$ 의 적분 공식이 보여요. $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$
2
공식을 써요. $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\ne-1)$ 에 $n=-\frac12$ 을 넣으면 $\int x^{-1/2}dx=\frac{x^{1/2}}{\frac12}+C=2\sqrt{x}+C$
3
미분해서 확인해요. $\frac{d}{dx}\left(2\sqrt{x}\right)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 로 처음 식이 나와요.

답

$2\sqrt{x}+C$

자주 하는 실수

$\frac{1}{x}$ 의 적분처럼 $\ln$ 을 쓰려 하거나, 적분상수 $C$ 를 빼먹어요.

원본 교재 풀이(영어)

$2\sqrt{x}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.10절 · 55번

# 부정적분의 뜻과 계산계산기본