문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 적분

부정적분의 뜻과 계산

미분하면 f가 되는 함수를 찾고, 부정적분 공식으로 계산한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

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4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.10절 · 13번우리말 풀이

다음 문제에서 각 함수 $f(x)$ 의 부정적분 $F(x)$ 의 일반형을 구하세요.

$f(x)=\left(\sqrt{x}\right)^{3}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the general form for the antiderivative $F(x)$ of each function $f(x).$

$f(x)={\left(\sqrt{x}\right)}^{3}$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

근호를 지수로 바꾸면 $x^n$ 꼴이 되어 부정적분 공식을 바로 쓸 수 있어요.

1
$\sqrt{x}=x^{1/2}$ 이므로 $\left(\sqrt{x}\right)^3=x^{3/2}$ 로 바꿔 써요.
2
공식 $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ( $n\ne-1$ )에 $n=\frac32$ 를 넣어요. $n+1=\frac52$ 이므로 $F(x)=\frac{x^{5/2}}{5/2}+C=\frac25x^{5/2}+C$
3
$x^{5/2}=\left(\sqrt{x}\right)^5$ 이므로 $F(x)=\frac25\left(\sqrt{x}\right)^5+C$ 라고 써도 같아요.

답

$F(x)=\frac25x^{5/2}+C$

자주 하는 실수

적분상수 $C$ 를 빼먹거나, 분모에 $\frac52$ 대신 $\frac32$ 를 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$F(x)=\frac{2}{5}{\left(\sqrt{x}\right)}^{5}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 8번

# 부정적분의 뜻과 계산계산기본

2.OpenStax 1권 · 5.6절 · 8번우리말 풀이

다음 문제에서 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each indefinite integral.

$\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

$\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$ 로 바꿔 쓰면 거듭제곱의 적분 공식을 바로 쓸 수 있어요.

1
왜 이렇게 할까요? 분수와 근호가 섞인 식은 공식을 쓰기 어려워요. 지수 꼴로 바꾸면 $x^n$ 의 적분 공식이 보여요. $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$
2
공식을 써요. $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\ne-1)$ 에 $n=-\frac12$ 을 넣으면 $\int x^{-1/2}dx=\frac{x^{1/2}}{\frac12}+C=2\sqrt{x}+C$
3
미분해서 확인해요. $\frac{d}{dx}\left(2\sqrt{x}\right)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 로 처음 식이 나와요.

답

$2\sqrt{x}+C$

자주 하는 실수

$\frac{1}{x}$ 의 적분처럼 $\ln$ 을 쓰려 하거나, 적분상수 $C$ 를 빼먹어요.

원본 교재 풀이(영어)

$2\sqrt{x}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.10절 · 55번

# 부정적분의 뜻과 계산계산기본

3.CLP-1 · 4.1절 · 1번우리말 번역

$f(x)$ 를 도함수가 $f'(x)$ 인 함수라 하자. $f'(x)$ 의 가장 일반적인 부정적분을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)$ be a function with derivative $f'(x)$ . What is the most general antiderivative of $f'(x)$ ?

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$f'(x)$ 의 부정적분은 도함수가 $f'(x)$ 인 함수이다. 원래의 함수 $f(x)$ 가 이 성질을 가지므로 $f(x)$ 는 $f'(x)$ 의 하나의 부정적분이지만, 가장 일반적인 것은 아니다. $f(x)$ 에 상수를 더해도 도함수는 변하지 않는다. 따라서 $f'(x)$ 의 가장 일반적인 부정적분은 $f(x)+C$ 이다. 여기서 $C$ 는 임의의 상수이다.

원본 교재 풀이(영어)

An antiderivative of $f'(x)$ is a function whose derivative is $f'(x)$ . Our original function $f(x)$ has this property, so $f(x)$ is an antiderivative of $f'(x)$ , but it's not the most general. We can add a constant to $f(x)$ without affecting its derivative. The most general antiderivative of $f'(x)$ is $f(x)+C$ , where $C$ is any constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 4.1절 · 2번

# 부정적분의 뜻과 계산계산기본자동 분류

4.CLP-1 · 4.1절 · 2번우리말 번역

아래 그래프에서 검은색 곡선은 $y=f(x)$ 이다. 색깔이 있는 곡선 중 어느 것이 $f(x)$ 의 부정적분(원시함수)인지 구하세요.

영어 원문 보기

On the graph below, the black curve is $y=f(x)$ . Which of the coloured curves is an antiderivative of $f(x)$ ?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 는 그래프의 왼쪽 부분을 이루는 구간에서 0 이상이고, 오른쪽 부분에서는 음수임을 알 수 있다. 따라서 그 부정적분은 왼쪽 구간에서 증가하고, 오른쪽 구간에서 감소한다. 이는 $A(x)$ 와 $C(x)$ 에는 해당하지만 $B(x)$ 에는 해당하지 않는다.

$A(x)$ 가 수평인 접선을 갖는 점은 세 곳뿐이다. 최댓값을 갖는 점과 그림에 나타난 구간의 양 끝점이다. 반면 $C(x)$ 는 수평인 접선을 갖는 곳이 네 곳이다. 최댓값을 갖는 점, 변곡점, 그리고 그림에 나타난 구간의 양 끝점이다. $f(x)=0$ 인 곳이 네 곳이고(이들은 $C(x)$ 의 수평인 부분과 일치한다) 따라서 $C(x)$ 가 $f(x)$ 의 부정적분이라고 결론짓는다.

원본 교재 풀이(영어)

Notice $f(x)$ is nonnegative for an interval covering the left part of the graph, and negative on the right part of the graph. That means its antiderivative is increasing for the left interval, then decreasing for the right interval. This applies to $A(x)$ and $C(x)$ , but not $B(x)$ .

There are only three points where $A(x)$ has a horizontal tangent line: at its global maximum and the endpoints of the interval shown. By contrast, $C(x)$ has a horizontal tangent line in four places: at its global maximum, at its inflection point, and at the endpoints of the interval shown. Since $f(x)=0$ four times (and these line up with the horizontal portions of $C(x)$ ) we conclude $C(x)$ is the antiderivative of $f(x)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 4.1절 · 20번

# 부정적분의 뜻과 계산그래프·표 해석기본자동 분류