문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 적분

정적분의 뜻과 성질

정적분을 넓이로 이해하고, 구간 나누기·대칭 같은 성질로 값을 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 5.2절 · 36번우리말 풀이

다음 문제에서 항등식 $\int_{-A}^{A}f(x)dx=\int_{-A}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{A}f(x)dx$ 를 이용하여 적분을 계산하세요.

$\int_{-\sqrt{\pi}}^{\sqrt{\pi}}\frac{t}{1+\cos t}\,dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the identity ${\int }_{-A}^{A}f(x)dx={\int }_{-A}^{0}f(x)dx+{\int }_{0}^{A}f(x)dx$ to compute the integrals.

${\int }_{-\sqrt{\pi }}^{\sqrt{\pi }}\frac{t}{1+\cos t}dt$

풀이 보기

구간이 $0$ 에 대해 대칭이고 피적분함수가 홀함수이면 적분값은 $0$ 이에요.

1
피적분함수를 $g(t)=\frac{t}{1+\cos t}$ 라 해요. 분모가 $0$ 이 되지 않는지 먼저 봐요. $|t|\le\sqrt\pi<\pi$ 이므로 $\cos t>-1$ 이고, $1+\cos t>0$ 이라 $g$ 는 구간 전체에서 연속이에요.
2
홀함수인지 확인해요. $g(-t)=\frac{-t}{1+\cos(-t)}=\frac{-t}{1+\cos t}=-g(t)$ 이므로 홀함수예요.
3
주어진 항등식으로 나누면 $\int_{-\sqrt\pi}^{\sqrt\pi}g\,dt=\int_{-\sqrt\pi}^{0}g\,dt+\int_{0}^{\sqrt\pi}g\,dt$ 예요. 앞의 적분에서 $t=-u$ 로 바꾸면 $\int_{-\sqrt\pi}^{0}g(t)dt=\int_0^{\sqrt\pi}g(-u)du=-\int_0^{\sqrt\pi}g(u)du$ 예요. 그래서 두 적분이 서로 부호만 다르게 상쇄되어 합은 $0$ 이에요.

답

$0$

자주 하는 실수

홀함수인지 확인하지 않고 $0$ 부터 $\sqrt\pi$ 까지 적분한 값의 두 배로 계산해요. 그건 짝함수일 때만 맞아요.

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is odd; the integral is zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 72번

# 정적분의 뜻과 성질계산보통

2.OpenStax 1권 · 5.2절 · 42번우리말 풀이

다음 문제에서 $\int_0^1 x\,dx=\frac12$ , $\int_0^1 x^2\,dx=\frac13$ , $\int_0^1 x^3\,dx=\frac14$ 임을 이용해 적분을 계산하세요.

$\int_0^1 (1-2x)^3\,dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that ${\int }_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2},{\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx=\frac{1}{3},$ and ${\int }_{0}^{1}{x}^{3}dx=\frac{1}{4},$ compute the integrals.

${\int }_{0}^{1}{(1-2x)}^{3}dx$

풀이 보기

식을 전개해서 아는 적분들의 합으로 쪼개요.

1
주어진 값은 $x$ , $x^2$ , $x^3$ 의 적분뿐이에요. 그러니 $(1-2x)^3$ 을 전개해 $x$ 의 거듭제곱 합으로 바꿔요. $(1-2x)^3=1-6x+12x^2-8x^3$
2
정적분은 합과 상수배를 밖으로 뺄 수 있어요. $\int_0^1(1-6x+12x^2-8x^3)\,dx=\int_0^1 1\,dx-6\int_0^1x\,dx+12\int_0^1x^2\,dx-8\int_0^1x^3\,dx$
3
$\int_0^1 1\,dx=1$ 이고 나머지는 주어진 값을 넣어요. $1-6\cdot\frac12+12\cdot\frac13-8\cdot\frac14=1-3+4-2=0$
4
검산해 봐요. 부정적분 $x-3x^2+4x^3-2x^4$ 에 $x=1$ 을 넣으면 $1-3+4-2=0$ 으로 같아요.

답

$0$

자주 하는 실수

$(1-2x)^3$ 을 전개할 때 가운데 항의 계수를 틀리기 쉬워요. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ 을 써요.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}(1-6x+12{x}^{2}-8{x}^{3})dx=(x-3{x}^{2}+4{x}^{3}-2{x}^{4})=(1-3+4-2)(0-0+0-0)=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 26번

# 정적분의 뜻과 성질계산기본