정적분의 뜻과 성질 연습문제

1.OpenStax 1권 · 5.2절 · 36번우리말 풀이

다음 문제에서 항등식 $\int_{-A}^{A}f(x)dx=\int_{-A}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{A}f(x)dx$ 를 이용하여 적분을 계산하세요.

$\int_{-\sqrt{\pi}}^{\sqrt{\pi}}\frac{t}{1+\cos t}\,dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the identity ${\int }_{-A}^{A}f(x)dx={\int }_{-A}^{0}f(x)dx+{\int }_{0}^{A}f(x)dx$ to compute the integrals.

${\int }_{-\sqrt{\pi }}^{\sqrt{\pi }}\frac{t}{1+\cos t}dt$

풀이 보기

구간이 $0$ 에 대해 대칭이고 피적분함수가 홀함수이면 적분값은 $0$ 이에요.

1
피적분함수를 $g(t)=\frac{t}{1+\cos t}$ 라 해요. 분모가 $0$ 이 되지 않는지 먼저 봐요. $|t|\le\sqrt\pi<\pi$ 이므로 $\cos t>-1$ 이고, $1+\cos t>0$ 이라 $g$ 는 구간 전체에서 연속이에요.
2
홀함수인지 확인해요. $g(-t)=\frac{-t}{1+\cos(-t)}=\frac{-t}{1+\cos t}=-g(t)$ 이므로 홀함수예요.
3
주어진 항등식으로 나누면 $\int_{-\sqrt\pi}^{\sqrt\pi}g\,dt=\int_{-\sqrt\pi}^{0}g\,dt+\int_{0}^{\sqrt\pi}g\,dt$ 예요. 앞의 적분에서 $t=-u$ 로 바꾸면 $\int_{-\sqrt\pi}^{0}g(t)dt=\int_0^{\sqrt\pi}g(-u)du=-\int_0^{\sqrt\pi}g(u)du$ 예요. 그래서 두 적분이 서로 부호만 다르게 상쇄되어 합은 $0$ 이에요.

답

$0$

자주 하는 실수

홀함수인지 확인하지 않고 $0$ 부터 $\sqrt\pi$ 까지 적분한 값의 두 배로 계산해요. 그건 짝함수일 때만 맞아요.

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is odd; the integral is zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 72번

# 정적분의 뜻과 성질계산보통

2.OpenStax 1권 · 5.2절 · 42번우리말 풀이

다음 문제에서 $\int_0^1 x\,dx=\frac12$ , $\int_0^1 x^2\,dx=\frac13$ , $\int_0^1 x^3\,dx=\frac14$ 임을 이용해 적분을 계산하세요.

$\int_0^1 (1-2x)^3\,dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that ${\int }_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2},{\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx=\frac{1}{3},$ and ${\int }_{0}^{1}{x}^{3}dx=\frac{1}{4},$ compute the integrals.

${\int }_{0}^{1}{(1-2x)}^{3}dx$

풀이 보기

식을 전개해서 아는 적분들의 합으로 쪼개요.

1
주어진 값은 $x$ , $x^2$ , $x^3$ 의 적분뿐이에요. 그러니 $(1-2x)^3$ 을 전개해 $x$ 의 거듭제곱 합으로 바꿔요. $(1-2x)^3=1-6x+12x^2-8x^3$
2
정적분은 합과 상수배를 밖으로 뺄 수 있어요. $\int_0^1(1-6x+12x^2-8x^3)\,dx=\int_0^1 1\,dx-6\int_0^1x\,dx+12\int_0^1x^2\,dx-8\int_0^1x^3\,dx$
3
$\int_0^1 1\,dx=1$ 이고 나머지는 주어진 값을 넣어요. $1-6\cdot\frac12+12\cdot\frac13-8\cdot\frac14=1-3+4-2=0$
4
검산해 봐요. 부정적분 $x-3x^2+4x^3-2x^4$ 에 $x=1$ 을 넣으면 $1-3+4-2=0$ 으로 같아요.

답

$0$

자주 하는 실수

$(1-2x)^3$ 을 전개할 때 가운데 항의 계수를 틀리기 쉬워요. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ 을 써요.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}(1-6x+12{x}^{2}-8{x}^{3})dx=(x-3{x}^{2}+4{x}^{3}-2{x}^{4})=(1-3+4-2)(0-0+0-0)=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 26번

# 정적분의 뜻과 성질계산기본

3.OpenStax 1권 · 5.2절 · 1번우리말 번역

다음 연습문제에서 극한을 적분으로 나타내세요.

$[1,3]$ 에서 $\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}\left({x}_{i}^{*}\right)\Delta x$

영어 원문 보기

In the following exercises, express the limits as integrals.

$\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}\left({x}_{i}^{*}\right)\Delta x$ over $[1,3]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 74번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

4.OpenStax 1권 · 5.2절 · 2번우리말 번역

다음 연습문제에서 극한을 적분으로 나타내세요.

$[0,2]$ 에서 $\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}\left(5{\left({x}_{i}^{*}\right)}^{2}-3{\left({x}_{i}^{*}\right)}^{3}\right)\Delta x$

영어 원문 보기

In the following exercises, express the limits as integrals.

$\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}\left(5{\left({x}_{i}^{*}\right)}^{2}-3{\left({x}_{i}^{*}\right)}^{3}\right)\Delta x$ over $[0,2]$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{2}(5{x}^{2}-3{x}^{3})dx$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{2}(5{x}^{2}-3{x}^{3})dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 4번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

5.OpenStax 1권 · 5.2절 · 3번우리말 번역

다음 연습문제에서 극한을 적분으로 나타내세요.

$\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}{\sin }^{2}\left(2\pi {x}_{i}^{*}\right)\Delta x$ , 구간 $[0,1]$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, express the limits as integrals.

$\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}{\sin }^{2}\left(2\pi {x}_{i}^{*}\right)\Delta x$ over $[0,1]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 18번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

6.OpenStax 1권 · 5.2절 · 4번우리말 번역

다음 연습문제에서 극한을 적분으로 나타내세요.

$\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}{\cos }^{2}\left(2\pi {x}_{i}^{*}\right)\Delta x$ , 구간 $[0,1]$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, express the limits as integrals.

$\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}{\cos }^{2}\left(2\pi {x}_{i}^{*}\right)\Delta x$ over $[0,1]$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{1}{\cos }^{2}(2\pi x)dx$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}{\cos }^{2}(2\pi x)dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 8번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

7.OpenStax 1권 · 5.2절 · 5번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 L_n 또는 R_n 에 대해, $n\to \infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고 알맞은 구간을 밝히세요.

${L}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i-1}{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${L}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i-1}{n}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.3절 · 10번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

8.OpenStax 1권 · 5.2절 · 7번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 L_n 또는 R_n 에 대해, $n\to \infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고 알맞은 구간을 밝히세요.

${L}_{n}=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(1+2\frac{i-1}{n}\right)$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${L}_{n}=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(1+2\frac{i-1}{n}\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 7번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

9.OpenStax 1권 · 5.2절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 L_n 또는 R_n 에 대해 $n\to \infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고, 알맞은 구간을 밝히세요.

${R}_{n}=\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(3+3\frac{i}{n}\right)$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${R}_{n}=\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(3+3\frac{i}{n}\right)$

정답·풀이 보기

${\int }_{3}^{6}xdx$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{3}^{6}xdx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.2절 · 17번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

10.OpenStax 1권 · 5.2절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 L_n 또는 R_n 에 대해 $n\to \infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고, 알맞은 구간을 밝히세요.

${L}_{n}=\frac{2\pi }{n}\sum_{i=1}^{n}2\pi \frac{i-1}{n}\cos \left(2\pi \frac{i-1}{n}\right)$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${L}_{n}=\frac{2\pi }{n}\sum_{i=1}^{n}2\pi \frac{i-1}{n}\cos \left(2\pi \frac{i-1}{n}\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 43번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

11.OpenStax 1권 · 5.2절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 L_n 또는 R_n 에 대해 $n\to \infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고, 알맞은 구간을 밝히세요.

${R}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{i}{n}\right)\log \left({\left(1+\frac{i}{n}\right)}^{2}\right)$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${R}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{i}{n}\right)\log \left({\left(1+\frac{i}{n}\right)}^{2}\right)$

정답·풀이 보기

${\int }_{1}^{2}x\log ({x}^{2})dx$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{1}^{2}x\log ({x}^{2})dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 12번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

12.OpenStax 1권 · 5.2절 · 17번우리말 번역

다음 문제에서 넓이 공식을 이용하여 적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{3}(3-x)dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integral using area formulas.

${\int }_{0}^{3}(3-x)dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 39번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

13.OpenStax 1권 · 5.2절 · 18번우리말 번역

다음 문제에서 넓이 공식을 이용하여 적분의 값을 구하세요.

${\int }_{2}^{3}(3-x)dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integral using area formulas.

${\int }_{2}^{3}(3-x)dx$

정답·풀이 보기

이 적분은 삼각형의 넓이이며, $\frac{1}{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The integral is the area of the triangle, $\frac{1}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 68번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

14.OpenStax 1권 · 5.2절 · 19번우리말 번역

다음 문제에서 넓이 공식을 이용하여 적분의 값을 구하세요.

${\int }_{-3}^{3}(3-|x|)dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integral using area formulas.

${\int }_{-3}^{3}(3-|x|)dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 26번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

15.OpenStax 1권 · 5.2절 · 20번우리말 번역

다음 문제에서 넓이 공식을 이용하여 적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{6}(3-|x-3|)dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integral using area formulas.

${\int }_{0}^{6}(3-|x-3|)dx$

정답·풀이 보기

이 적분은 삼각형의 넓이이며, 9이다.

원본 교재 풀이(영어)

The integral is the area of the triangle, 9.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 22번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

16.OpenStax 1권 · 5.2절 · 21번우리말 번역

다음 문제에서 넓이 공식을 이용하여 적분의 값을 구하세요.

${\int }_{-2}^{2}\sqrt{4-{x}^{2}}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integral using area formulas.

${\int }_{-2}^{2}\sqrt{4-{x}^{2}}dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 46번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

17.OpenStax 1권 · 5.2절 · 22번우리말 번역

다음 연습문제에서 넓이 공식을 이용하여 적분의 값을 구하세요.

${\int }_{1}^{5}\sqrt{4-{(x-3)}^{2}}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integral using area formulas.

${\int }_{1}^{5}\sqrt{4-{(x-3)}^{2}}dx$

정답·풀이 보기

이 적분은 넓이 $\frac{1}{2}\pi {r}^{2}=2\pi$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The integral is the area $\frac{1}{2}\pi {r}^{2}=2\pi .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.3절 · 10번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

18.OpenStax 1권 · 5.2절 · 23번우리말 번역

다음 연습문제에서 넓이 공식을 이용하여 적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{12}\sqrt{36-{(x-6)}^{2}}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integral using area formulas.

${\int }_{0}^{12}\sqrt{36-{(x-6)}^{2}}dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 58번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

19.OpenStax 1권 · 5.2절 · 24번우리말 번역

다음 연습문제에서 넓이 공식을 이용하여 적분의 값을 구하세요.

${\int }_{-2}^{3}(3-|x|)dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integral using area formulas.

${\int }_{-2}^{3}(3-|x|)dx$

정답·풀이 보기

이 적분은 "큰" 삼각형의 넓이에서 "빠진" 삼각형의 넓이를 뺀 값, $9-\frac{1}{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The integral is the area of the “big” triangle less the “missing” triangle, $9-\frac{1}{2}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 32번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

20.OpenStax 1권 · 5.2절 · 25번우리말 번역

다음 연습문제에서, 왼쪽(L) 끝점과 오른쪽(R) 끝점에서의 함숫값의 평균을 이용하여, 주어진 점들의 목록을 지나는 그래프를 가진 구간별로 정의된 일차함수의 주어진 구간에서의 적분을 계산하세요.

구간 $[0,8]$ 에서 $\{(0,0),(2,1),(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)\}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use averages of values at the left (L) and right (R) endpoints to compute the integrals of the piecewise linear functions with graphs that pass through the given list of points over the indicated intervals.

$\{(0,0),(2,1),(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)\}$ over $[0,8]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 4번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류