문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 적분

속도와 거리

속도를 적분해 위치의 변화량과 실제 움직인 거리를 구한다(순변화량)

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 5.4절 · 13번우리말 풀이

정육면체의 한 모서리 길이가 $s$ 에서 $2s$ 로 두 배가 될 때 겉넓이의 변화량을 나타내는 적분식을 쓰고, 그 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that quantifies the change in the area of the surface of a cube when its side length doubles from s unit to 2s units and evaluate the integral.

풀이 보기

양의 변화율을 적분하면 그 양의 순변화량이 돼요.

1
겉넓이를 모서리 길이 $x$ 의 함수로 써요. 정육면체는 정사각형 6개로 이루어져 있으니 $S(x)=6x^2$ 이에요.
2
변화율을 구해요. 길이가 조금 늘어날 때 겉넓이가 늘어나는 비율은 도함수 $S'(x)=12x$ 예요.
3
순변화량 = 변화율의 정적분이에요. $\int_s^{2s}12x\,dx=\Big[6x^2\Big]_s^{2s}=6(2s)^2-6s^2=24s^2-6s^2=18s^2$
4
확인해요. 처음 겉넓이는 $6s^2$ , 나중 겉넓이는 $6(2s)^2=24s^2$ 이므로 차이는 $18s^2$ 로 같아요.

답

$\displaystyle\int_s^{2s}12x\,dx=18s^2$

자주 하는 실수

겉넓이를 부피 공식 $x^3$ 과 헷갈리거나 $6$ 을 곱하는 것을 잊어 $3s^2$ 같은 값을 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$18{s}^{2}=6{\int }_{s}^{2s}2xdx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 23번

# 속도와 거리활용보통

2.OpenStax 1권 · 5.4절 · 23번우리말 풀이

원 모양의 넓이 $A(t)$ 가 일정한 비율로 커지고 있습니다. 시각 $t=2$ 부터 $t=3$ 까지 넓이가 $4\pi$ 에서 $9\pi$ 로 늘어날 때, 이 시간 동안 반지름의 순변화량을 구하세요.

영어 원문 보기

The area $A(t)$ of a circular shape is growing at a constant rate. If the area increases from 4π units to 9π units between times $t=2$ and $t=3,$ find the net change in the radius during that time.

풀이 보기

반지름 변화량은 (나중 반지름) − (처음 반지름)이고, 반지름은 $r=\sqrt{A/\pi}$ 로 넓이에서 바로 알 수 있어요.

1
넓이와 반지름의 관계를 써요. 원의 넓이 $A=\pi r^2$ 이므로 $r=\sqrt{A/\pi}$ 예요.
2
처음과 나중의 반지름을 구해요. $t=2$ 에서 $A=4\pi$ 이므로 $r=2$ , $t=3$ 에서 $A=9\pi$ 이므로 $r=3$ 이에요.
3
순변화량을 계산해요. 변화율 $r'(t)$ 를 적분한 값이 순변화량이고, 이는 끝값 − 처음값과 같아요. $\int_2^3 r'(t)\,dt=r(3)-r(2)=3-2=1$
4
참고: 일정하게 커진다는 조건을 써 보면. 넓이가 일정한 비율로 커지므로 $A(t)=4\pi+5\pi(t-2)$ 이고 $r(t)=\sqrt{5t-6}$ 이에요. $r'(t)=\dfrac{5}{2\sqrt{5t-6}}$ 를 $2$ 에서 $3$ 까지 적분해도 $\big[\sqrt{5t-6}\big]_2^3=3-2=1$ 로 같아요.

답

반지름이 $1$ 만큼 증가해요(순변화량 $=1$ ).

자주 하는 실수

넓이 변화량 $5\pi$ 를 반지름 변화량으로 착각하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

The net increase is 1 unit.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.1절 · 8번

# 속도와 거리활용보통

3.OpenStax 1권 · 5.4절 · 33번우리말 풀이

자동차가 브레이크를 밟을 때 낼 수 있는 최대 감속도는 마른 콘크리트에서 약 $7\,\text{m/s}^2$ , 젖은 아스팔트에서 약 $2.5\,\text{m/s}^2$ 입니다. $1\,\text{mph}$ 는 $0.447\,\text{m/s}$ 에 해당합니다. 브레이크를 밟은 순간부터 완전히 멈출 때까지 자동차가 달린 거리를 m 단위로 구하세요. 마른 콘크리트에서 처음 속도가 $67\,\text{mph}$ ( $30\,\text{m/s}$ )일 때와 $56\,\text{mph}$ ( $25\,\text{m/s}$ )일 때를 각각 구하고, 미끄러운 젖은 아스팔트에서도 같은 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For a given motor vehicle, the maximum achievable deceleration from braking is approximately 7 m/sec² on dry concrete. On wet asphalt, it is approximately 2.5 m/sec². Given that 1 mph corresponds to 0.447 m/sec, find the total distance that a car travels in meters on dry concrete after the brakes are applied until it comes to a complete stop if the initial velocity is 67 mph (30 m/sec) or if the initial braking velocity is 56 mph (25 m/sec). Find the corresponding distances if the surface is slippery wet asphalt.

풀이 보기

속도가 $v(t)=v_0-at$ 이니 멈추는 시각까지 속도를 적분하면 달린 거리가 나와요.

1
속도의 식을 세워요. 처음 속도 $v_0$ , 감속도 $a$ 이면 $v(t)=v_0-at$ 예요(속도가 일정하게 줄어요).
2
멈추는 시각을 구해요. $v(T)=0$ 에서 $T=\dfrac{v_0}{a}$ 예요.
3
거리는 속도의 정적분이에요. 속도가 음수가 되기 전(멈출 때까지)이라 순변화량과 실제 거리가 같아요. $D=\int_0^{T}(v_0-at)\,dt=\left[v_0t-\frac{a}{2}t^2\right]_0^{v_0/a}=\frac{v_0^2}{a}-\frac{v_0^2}{2a}=\frac{v_0^2}{2a}$
4
마른 콘크리트( $a=7$ )에 넣어요. $v_0=30$ 이면 $D=\dfrac{900}{14}\approx64.3$ , $v_0=25$ 이면 $D=\dfrac{625}{14}\approx44.6$ 이에요.
5
젖은 아스팔트( $a=2.5$ )에 넣어요. $v_0=30$ 이면 $D=\dfrac{900}{5}=180$ , $v_0=25$ 이면 $D=\dfrac{625}{5}=125$ 예요.

답

마른 콘크리트: $64.3\,\text{m}$ ( $30\,\text{m/s}$ ), $44.6\,\text{m}$ ( $25\,\text{m/s}$ ) / 젖은 아스팔트: $180\,\text{m}$ , $125\,\text{m}$

자주 하는 실수

속도를 두 배로 하면 제동 거리도 두 배라고 생각하기 쉬운데, 거리는 $v_0^2$ 에 비례해요.

원본 교재 풀이(영어)

In dry conditions, with initial velocity ${v}_{0}=30$ m/s, $D=64.3$ and, if ${v}_{0}=25,D=44.64.$ In wet conditions, if ${v}_{0}=30,$ and $D=180$ and if ${v}_{0}=25,D=125.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 13번

# 속도와 거리활용보통