속도와 거리 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 5.4절 · 13번우리말 풀이

정육면체의 한 모서리 길이가 $s$ 에서 $2s$ 로 두 배가 될 때 겉넓이의 변화량을 나타내는 적분식을 쓰고, 그 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that quantifies the change in the area of the surface of a cube when its side length doubles from s unit to 2s units and evaluate the integral.

풀이 보기

양의 변화율을 적분하면 그 양의 순변화량이 돼요.

1
겉넓이를 모서리 길이 $x$ 의 함수로 써요. 정육면체는 정사각형 6개로 이루어져 있으니 $S(x)=6x^2$ 이에요.
2
변화율을 구해요. 길이가 조금 늘어날 때 겉넓이가 늘어나는 비율은 도함수 $S'(x)=12x$ 예요.
3
순변화량 = 변화율의 정적분이에요. $\int_s^{2s}12x\,dx=\Big[6x^2\Big]_s^{2s}=6(2s)^2-6s^2=24s^2-6s^2=18s^2$
4
확인해요. 처음 겉넓이는 $6s^2$ , 나중 겉넓이는 $6(2s)^2=24s^2$ 이므로 차이는 $18s^2$ 로 같아요.

답

$\displaystyle\int_s^{2s}12x\,dx=18s^2$

자주 하는 실수

겉넓이를 부피 공식 $x^3$ 과 헷갈리거나 $6$ 을 곱하는 것을 잊어 $3s^2$ 같은 값을 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$18{s}^{2}=6{\int }_{s}^{2s}2xdx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 23번

# 속도와 거리활용보통

2.OpenStax 1권 · 5.4절 · 23번우리말 풀이

원 모양의 넓이 $A(t)$ 가 일정한 비율로 커지고 있습니다. 시각 $t=2$ 부터 $t=3$ 까지 넓이가 $4\pi$ 에서 $9\pi$ 로 늘어날 때, 이 시간 동안 반지름의 순변화량을 구하세요.

영어 원문 보기

The area $A(t)$ of a circular shape is growing at a constant rate. If the area increases from 4π units to 9π units between times $t=2$ and $t=3,$ find the net change in the radius during that time.

풀이 보기

반지름 변화량은 (나중 반지름) − (처음 반지름)이고, 반지름은 $r=\sqrt{A/\pi}$ 로 넓이에서 바로 알 수 있어요.

1
넓이와 반지름의 관계를 써요. 원의 넓이 $A=\pi r^2$ 이므로 $r=\sqrt{A/\pi}$ 예요.
2
처음과 나중의 반지름을 구해요. $t=2$ 에서 $A=4\pi$ 이므로 $r=2$ , $t=3$ 에서 $A=9\pi$ 이므로 $r=3$ 이에요.
3
순변화량을 계산해요. 변화율 $r'(t)$ 를 적분한 값이 순변화량이고, 이는 끝값 − 처음값과 같아요. $\int_2^3 r'(t)\,dt=r(3)-r(2)=3-2=1$
4
참고: 일정하게 커진다는 조건을 써 보면. 넓이가 일정한 비율로 커지므로 $A(t)=4\pi+5\pi(t-2)$ 이고 $r(t)=\sqrt{5t-6}$ 이에요. $r'(t)=\dfrac{5}{2\sqrt{5t-6}}$ 를 $2$ 에서 $3$ 까지 적분해도 $\big[\sqrt{5t-6}\big]_2^3=3-2=1$ 로 같아요.

답

반지름이 $1$ 만큼 증가해요(순변화량 $=1$ ).

자주 하는 실수

넓이 변화량 $5\pi$ 를 반지름 변화량으로 착각하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

The net increase is 1 unit.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.1절 · 8번

# 속도와 거리활용보통

3.OpenStax 1권 · 5.4절 · 33번우리말 풀이

자동차가 브레이크를 밟을 때 낼 수 있는 최대 감속도는 마른 콘크리트에서 약 $7\,\text{m/s}^2$ , 젖은 아스팔트에서 약 $2.5\,\text{m/s}^2$ 입니다. $1\,\text{mph}$ 는 $0.447\,\text{m/s}$ 에 해당합니다. 브레이크를 밟은 순간부터 완전히 멈출 때까지 자동차가 달린 거리를 m 단위로 구하세요. 마른 콘크리트에서 처음 속도가 $67\,\text{mph}$ ( $30\,\text{m/s}$ )일 때와 $56\,\text{mph}$ ( $25\,\text{m/s}$ )일 때를 각각 구하고, 미끄러운 젖은 아스팔트에서도 같은 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For a given motor vehicle, the maximum achievable deceleration from braking is approximately 7 m/sec² on dry concrete. On wet asphalt, it is approximately 2.5 m/sec². Given that 1 mph corresponds to 0.447 m/sec, find the total distance that a car travels in meters on dry concrete after the brakes are applied until it comes to a complete stop if the initial velocity is 67 mph (30 m/sec) or if the initial braking velocity is 56 mph (25 m/sec). Find the corresponding distances if the surface is slippery wet asphalt.

풀이 보기

속도가 $v(t)=v_0-at$ 이니 멈추는 시각까지 속도를 적분하면 달린 거리가 나와요.

1
속도의 식을 세워요. 처음 속도 $v_0$ , 감속도 $a$ 이면 $v(t)=v_0-at$ 예요(속도가 일정하게 줄어요).
2
멈추는 시각을 구해요. $v(T)=0$ 에서 $T=\dfrac{v_0}{a}$ 예요.
3
거리는 속도의 정적분이에요. 속도가 음수가 되기 전(멈출 때까지)이라 순변화량과 실제 거리가 같아요. $D=\int_0^{T}(v_0-at)\,dt=\left[v_0t-\frac{a}{2}t^2\right]_0^{v_0/a}=\frac{v_0^2}{a}-\frac{v_0^2}{2a}=\frac{v_0^2}{2a}$
4
마른 콘크리트( $a=7$ )에 넣어요. $v_0=30$ 이면 $D=\dfrac{900}{14}\approx64.3$ , $v_0=25$ 이면 $D=\dfrac{625}{14}\approx44.6$ 이에요.
5
젖은 아스팔트( $a=2.5$ )에 넣어요. $v_0=30$ 이면 $D=\dfrac{900}{5}=180$ , $v_0=25$ 이면 $D=\dfrac{625}{5}=125$ 예요.

답

마른 콘크리트: $64.3\,\text{m}$ ( $30\,\text{m/s}$ ), $44.6\,\text{m}$ ( $25\,\text{m/s}$ ) / 젖은 아스팔트: $180\,\text{m}$ , $125\,\text{m}$

자주 하는 실수

속도를 두 배로 하면 제동 거리도 두 배라고 생각하기 쉬운데, 거리는 $v_0^2$ 에 비례해요.

원본 교재 풀이(영어)

In dry conditions, with initial velocity ${v}_{0}=30$ m/s, $D=64.3$ and, if ${v}_{0}=25,D=44.64.$ In wet conditions, if ${v}_{0}=30,$ and $D=180$ and if ${v}_{0}=25,D=125.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 13번

# 속도와 거리활용보통

4.Active Calculus · 4.1절 · 8번우리말 번역

장난감 로켓을 바람이 없는 날 지면에서 수직으로 발사한다. 시각 $t$ (초)에서 로켓의 수직 속도는 $v(t)= 500-32t$ 피트/초로 주어진다.

(a) 로켓을 발사한 후 몇 초일 때 로켓의 속도가 0이 되는지 구하세요. 이 시각을 $a$ 라 하세요. $t = a$ 일 때 로켓에 어떤 일이 일어나는지 설명하세요. (b) 구간 $0 \le t \le a$ 에서 $y = v(t)$ 와 $t$ 축으로 둘러싸인 부분의 전체 넓이의 값을 구하세요. 이 넓이는 문제의 물리적 상황에서 무엇을 나타내는지 설명하세요. (c) 함수 $v$ 의 부정적분 $s$ 를 구하세요. 즉, $s'(t) = v(t)$ 를 만족시키는 함수 $s$ 를 구하세요. (d) $s(a) - s(0)$ 의 값을 구하세요. 이 값은 문제의 물리적 상황에서 무엇을 나타내는지 설명하세요. (e) $s(5) - s(1)$ 의 값을 구하세요. 이 값은 로켓의 비행에 대해 무엇을 알려 주는지 설명하세요.

영어 원문 보기

A toy rocket is launched vertically from the ground on a day with no wind. The rocket's vertical velocity at time $t$ (in seconds) is given by $v(t)= 500-32t$ feet/sec.

(a) At what time after the rocket is launched does the rocket's velocity equal zero? Call this time value $a$ . What happens to the rocket at $t = a$ ? (b) Find the value of the total area enclosed by $y = v(t)$ and the $t$ -axis on the interval $0 \le t \le a$ . What does this area represent in terms of the physical setting of the problem? (c) Find an antiderivative $s$ of the function $v$ . That is, find a function $s$ such that $s'(t) = v(t)$ . (d) Compute the value of $s(a) - s(0)$ . What does this number represent in terms of the physical setting of the problem? (e) Compute $s(5) - s(1)$ . What does this number tell you about the rocket's flight?

정답·풀이 보기

(a) $v(t) = 0$ 으로 놓으면 $500 - 32t = 0$ 이므로 $t = \frac{500}{32} = \frac{125}{8} = 15.625$ 이다. 이 시각은 로켓의 속도가 양에서 음으로 바뀌는 때이고, 따라서 로켓의 위치가 증가에서 감소로 바뀌는 지점, 즉 로켓이 최고 높이에 도달하는 때이다. (b) 구간 $[0, 15.625]$ 에서 $v$ 는 두 점 $(0,500)$ 과 $(15.625,0)$ 을 잇는 구간에서 값이 양인 일차함수이므로, 속도 함수와 $t$ 축으로 둘러싸인 영역은 수직인 변의 길이가 $500$ , 수평인 변의 길이가 $15.625$ 인 직각삼각형이다. 이 삼각형의 넓이는 $A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(15.625)(500) = 3906.25$ 이다. 이것은 속도 곡선 아래의 넓이이고(속도가 양인 구간이므로) 시간 구간 $[0, 15.625]$ 에서 로켓이 수직으로 이동한 거리를 나타낸다. (c) 도함수가 $v(t) = s'(t) = 500-32t$ 인 함수의 하나는 $s(t) = 500t - 16t^2$ 이다. (d) (c)의 결과를 이용하면 $s(15.625) - s(0) = 500(15.625) - 16(15.625)^2 - (0 - 0) = 3906.25$ 이다. 따라서 $[0,15.625]$ 에서 로켓의 위치 변화량은 $3906.25$ 피트이며, 이 구간 내내 속도가 양이므로 이는 로켓이 이 시간 구간 동안 수직으로 이동한 거리이기도 하다. (e) $s(5) - s(1) = 1616$ 이므로, 로켓은 $t = 1$ 에서 $t = 5$ 까지 $4$ 초 동안 $1616$ 피트 상승했음을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Setting $v(t) = 0$ , we find $500 - 32t = 0$ , and thus $t = \frac{500}{32} = \frac{125}{8} = 15.625$ . This is the time that the rocket's velocity changes from positive to negative, and thus the point when the rocket's position changes from increasing to decreasing: it's when the rocket reaches its maximum height. (b) Since $v$ is a positive linear function that connects the points $(0,500)$ and $(15.625,0)$ on the interval $[0, 15.625]$ , the region enclosed by the velocity function and the $t$ -axis is a right triangle with vertical leg of length $500$ and horizontal leg of length $15.625$ . The area of this triangle is $A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(15.625)(500) = 3906.25$ . Because this is the area under the velocity curve (where velocity is positive) this area represents the vertical distance traveled by the rocket on the time interval $[0, 15.625]$ . (c) One function that has derivative $v(t) = s'(t) = 500-32t$ is $s(t) = 500t - 16t^2$ . (d) Using our result in (c), $s(15.625) - s(0) = 500(15.625) - 16(15.625)^2 - (0 - 0) = 3906.25$ . Thus, the change of the rocket's position on $[0,15.625]$ is $3906.25$ feet, which is also the distance the rocket traveled vertically on the time interval, since velocity is positive throughout. (e) We find that $s(5) - s(1) = 1616$ , which tells us that the rocket rose $1616$ feet on the $4$ -second interval from $t = 1$ to $t = 5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.1절 · 10번

# 속도와 거리활용자동 분류